Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN}}$ LỚP $10$ năm $2018-2019$

bất đẳng thức holder cosi bunhiacopxki

  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 318 trả lời

#41 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 467 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 17-04-2018 - 11:25

mà đoan đau ta co P =< .....  thi dau = xay ra khi x=y=z maf

à a bị nhầm :D


  N.D.P 

#42 trambau

trambau

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 539 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:ABC8 (16-19) THPT Hàm Rồng- Thanh Hóa

Đã gửi 17-04-2018 - 11:47

A cũng góp một bài khá hay: 

Bài 20: Cho $a,b,c,x,y,z>0$ thỏa mãn $(a+b+c)(x+y+z)=(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=4$. Chứng minh: $abcxyz<\frac{1}{36}$

Ps: Lâu lắm rồi mới vào lại diễn đàn

$4(ab+bc+ca)(xy+yz+zx)=[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)][(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)]$

$=20-(a+b+c)^2(xy+yz+zx)-(x+y+z)^2(ab+bc+ca) \leq 20-2\sqrt{(a+b+c)^2(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)(x+y+z)^2}=4$

$\Rightarrow (ab+bc+ca)(xy+yz+xz)\leq 1$

$\Rightarrow 1 \geq (ab+bc+ca)^2(xy+yz+xz)^2\geq 9abcxyz(a+b+c)(x+y+z)$ (Do $\left\{\begin{matrix} (ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c) & & \\ (xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z) & & \end{matrix}\right.$ )

$\Rightarrow abcxyz\leq \frac{1}{36}$



#43 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 270 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 17-04-2018 - 11:57

Bài 21:

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh:

$\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{8}{{{c^2}}} \ge \frac{{64}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}$ (Sưu tầm)

P/s: các bạn liệu cần bài khó hơn không :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 17-04-2018 - 17:49


#44 doraemon123

doraemon123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 169 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 17-04-2018 - 13:51

Bài 11: 

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh:

$\frac{a}{{\sqrt {\left( {2{\rm{a}} + b} \right)\left( {2{\rm{a}} + c} \right)} }} + \frac{b}{{\sqrt {\left( {2b + a} \right)\left( {2b + c} \right)} }} + \frac{c}{{\sqrt {\left( {2c + a} \right)\left( {2c + b} \right)} }} \le 1$ (Nguyễn Việt Hùng)

P/s: các bạn hãy đưa ra các bài phù hợp với lớp 9 một chút :D

áp dụng BĐT Cauchy- Schwartz

Ta có: $(2a+b)(2a+c)=(a+a+b)(a+c+a)\geq (a+\sqrt{ac}+\sqrt{ab})^2=a(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2\Rightarrow \sqrt{(2a+b)(2a+c)}\geq \sqrt{a}.(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{(2a+b)(2a+c)}}\leq \frac{a}{\sqrt{a}.(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

Cmtt: $\frac{b}{\sqrt{(2b+a)(2b+c)}}\leq \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}};\frac{c}{\sqrt{(2c+a)(2c+b)}}\leq \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

Cộng vế theo vế ta được đpcm

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doraemon123: 17-04-2018 - 14:13

$\sqrt{MF}$  math is like reality that so many problem to solve $\sqrt{MATH}$

                                               (~~) (~~) :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2:  (~~) (~~) 


#45 thanhdatqv2003

thanhdatqv2003

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo Hải Tặc
  • Sở thích:$\boxed{\text{ONE PIECE}\bigstar}$

Đã gửi 17-04-2018 - 15:02

à a bị nhầm :D

anh làm lại đi. rồi post đáp án lên em xem vs


:ohmy: [Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả mãn xn + yn = zn trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.  (FERMAT)  :ohmy: 

 

 

 

 


#46 doraemon123

doraemon123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 169 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 17-04-2018 - 15:20

Bài 12
Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh:
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge \frac{{a + b + c}}{{\sqrt[3]{{abc}}}}$ (Sưu tầm)


  (Sưu tầm Bđt của thầy Phạm Kim Hùng)

Ta nhóm và sử dụng BĐT AM-GM

$3(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})=(\frac{2a}{b}+\frac{b}{c})+(\frac{2b}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{2c}{a}+\frac{a}{b})\geq \frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{3b}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{3c}{\sqrt[3]{abc}}\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doraemon123: 17-04-2018 - 15:34

$\sqrt{MF}$  math is like reality that so many problem to solve $\sqrt{MATH}$

                                               (~~) (~~) :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2:  (~~) (~~) 


#47 thanhdatqv2003

thanhdatqv2003

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo Hải Tặc
  • Sở thích:$\boxed{\text{ONE PIECE}\bigstar}$

Đã gửi 17-04-2018 - 15:21

 \leq 20-2\sqrt{(a+b+c)^2(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)(x+y+z)^2}=4$

 

tại sao vậy anh.


:ohmy: [Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả mãn xn + yn = zn trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.  (FERMAT)  :ohmy: 

 

 

 

 


#48 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 467 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 17-04-2018 - 16:31

tại sao vậy anh.

Chị đấy :D

Theo BĐT $AM-GM$ thôi ( có dấu trừ nên đổi dấu )


  N.D.P 

#49 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 270 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 17-04-2018 - 17:34

Bài 22:

Cho các số thực không âm a, b, c. Chứng minh: 

$\frac{{2a + b}}{{3a + 2b + c}} + \frac{{2b + c}}{{3b + 2c + a}} + \frac{{2c + a}}{{3c + 2a + b}} \le \frac{3}{2}$ (Phạm Quốc Sang)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 17-04-2018 - 17:41


#50 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 17-04-2018 - 17:37

TOPIC sôi nổi quá, vui thật đấy

Mình xin đưa ra lời giải cho Bài 3 :

 P = $\frac{x}{y^3+16}+\frac{y}{z^3+16}+\frac{z}{x^3+16}$

                                               $A=3-16P= \frac{xy^3}{y^3+16}+\frac{yz^3}{z^3+16}+\frac{zx^3}{x^3+16}$

                                          $\left\{\begin{matrix}y\geq 0 & & \\ (y-2)^2(y+4)\geq 0 & & \end{matrix}\right.$

                                                                           $\Leftrightarrow y^3+16 \geq 12y$

 Tương tự, ta cũng có $x^3+16 \geq 12x$ ; $z^3+16 \geq 12z$

$ \Rightarrow \sum \frac{xy^3}{y^3+16} \leq \frac{\sum xy^2}{12} \leq \frac{x^2y+xyz+yz^2}{12}$

$=\frac{y(x^2+xz+z^2)}{12} \leq \frac{y(x+z)^2}{12}= \frac{y(3-y)^2}{12}$

$=\frac{2y(3-y)^2}{24} \leq \frac{1}{3}$

$\Rightarrow P \geq \frac{1}{6}$

Dấu bằng xảy ra tại $x=0;y=1;z=2$

P/s: Topic còn nhiều bài quá, các bạn cố gắng giải nhé :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 17-04-2018 - 17:48


#51 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 270 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 17-04-2018 - 17:47

Bài 23

Cho các số thực không âm a, b, c mà trong đó không có 2 số nào đồng thời bằng 0.

Chứng minh: 

$\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{4{\rm{a}}bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \ge 2$ (Schur)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 17-04-2018 - 17:48


#52 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 595 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 17-04-2018 - 18:39

Bài 6: Cho a, b, c>0 thỏa mãn $abc=1$ Chứng minh rằng:

$a+b+c\geq \frac{1+a}{1+b}+\frac{1+b}{1+c}+\frac{1+c}{1+a}$ (Phạm Kim Hùng)

Bài 7: Cho a, b là hai số không âm thỏa mãn $a^3+b^3=2$. Chứng minh:

$3(a^4+b^4)+2a^4b^4\leq 8$ (Vasile Cirtoaje)

Mình xin đưa ra lời giải hai bài này 

Bài 6:

Ta có: $\frac{a+1}{b+1}=a+1-\frac{b(a+1)}{b+1}$ nên BĐT quy về chứng minh:

$\sum \frac{b(a+1)}{b+1}\geq 3$.

Bất đẳng thức trên đúng theo AM - GM 3 số kết hợp với điều kiện $abc=1$

Bài 7: 

Theo AM - GM ta có:

$a^3+b^3+1\geq 3ab\Rightarrow ab\leq 1$; $a^3+1+1\geq 3a\Rightarrow 3a\leq a^3+2=4-b^3$; $3b\leq 4-a^3$.

Từ đó ta có:

$3(a^4+b^4)+2a^4b^4=3a.a^3+3b.b^3+2a^3b^3.ab\leq (4-b^3)a^3+(4-a^3)b^3+2a^3b^3=4(a^3+b^3)=8$


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#53 DinhXuanHung CQB

DinhXuanHung CQB

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Qb
  • Sở thích:ko

Đã gửi 17-04-2018 - 19:30

A cũng góp một bài khá hay: 

Bài 20: Cho $a,b,c,x,y,z>0$ thỏa mãn $(a+b+c)(x+y+z)=(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=4$. Chứng minh: $abcxyz<\frac{1}{36}$

Ps: Lâu lắm rồi mới vào lại diễn đàn

Xét $4(\sum ab)(\sum xy)=((\sum a)^2-\sum a^2)((\sum x)^2-\sum x^2)=20-(\sum a^2)(\sum x)^2-(\sum x^2)(\sum a)^2$

$\leq 20-2(\sum a)(\sum x)\sqrt{(\sum a^2)(\sum x^2)}=4$

$1\geq (\sum ab)(\sum xy)\geq 3\sqrt{abcxyz(a+b+c)(x+y+z}=6\sqrt{abcxyz}$

$abcxyz\leq \frac{1}{36}$


Little Homie


#54 DinhXuanHung CQB

DinhXuanHung CQB

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Qb
  • Sở thích:ko

Đã gửi 17-04-2018 - 19:33

Bài 21:

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh:

$\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{8}{{{c^2}}} \ge \frac{{64}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}$ (Sưu tầm)

P/s: các bạn liệu cần bài khó hơn không :D

Sử dụng $AM-GM$


Little Homie


#55 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 467 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 17-04-2018 - 20:09

Bất đẳng thức của bạn sai rồi vế phải là $\frac{3}{\sqrt{2}}$

  

Xin lỗi xuanhoan23112002 và các bạn đang theo dõi topic do sơ suất nên đã đánh máy nhầm. 

Mong các bạn thông cảm

P/s: đã sửa


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 17-04-2018 - 20:09

  N.D.P 

#56 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 467 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 17-04-2018 - 20:18

Bài 24: Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\neq 0$. Chứng minh rằng $\sum_{cyc}\frac{a^{2}-bc}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 0$


  N.D.P 

#57 xuanhoan23112002

xuanhoan23112002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 17-04-2018 - 20:20

Bài 25: Cho $0\leq a, b, c \leq 2$ và a+b+c=3

1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của M =$a^2+b^2+c^2$

2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của N =$a^3+b^3+c^3$

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của H =$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

P/s: Mỗi câu là 1 bài toán riêng mình ghép chung thành 1 bài


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanhoan23112002: 17-04-2018 - 20:47


#58 xuanhoan23112002

xuanhoan23112002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 17-04-2018 - 20:46

Bài 26: Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn: $x+y+z=100$

Xác định giá trị lớn nhất của M =$11xy+3xz+2012yz$



#59 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 17-04-2018 - 21:13

Bài 16: Với $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$, $a,b,c< \frac{1}{2}$. Chứng minh rằng $\frac{1-2a^{2}}{(1-2a)^{2}}+\frac{1-2b^{2}}{(1-2b)^{2}}+\frac{1-2c^{2}}{(1-2c)^{2}}\geq 21$

Ta có bổ đề quen thuộc $\sum \frac{a}{b+c-a} \geq 3$

 

$\sum \frac{1-2a^2}{(1-2a)^2}=\sum \frac{1-4a^2}{(1-2a)^2}+\frac{2a^2}{(1-2a)^2}$

$\sum \frac{1-4a^2}{(1-2a)^2}=\sum \frac{(a+b+c)^2-4a^2}{(b+c-a)^2}=\sum \frac{b+c+3a}{b+c-a}=3+\sum \frac{4a}{b+c-a }\geq 15$

 

$\sum \frac{2a^2}{(b+c-a)^2} \geq \sum \frac{2}{3}(\sum \frac{a}{b+c-a})^2\geq 6$

$-> P \geq 21$



#60 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 270 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 17-04-2018 - 21:18

Sử dụng $AM-GM$

Nếu có thể hãy đưa ra lời giải cụ thể ?







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức, holder, cosi, bunhiacopxki

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh