Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN}}$ LỚP $10$ năm $2018-2019$

bất đẳng thức holder cosi bunhiacopxki

  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 318 trả lời

#61 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 17-04-2018 - 21:24

Bài 17: Cho $a,b,c>1$ và $a+b+c=abc$. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P= \frac{b-2}{a^{2}}+\frac{c-2}{b^{2}}+\frac{a-2}{c^{2}}$

$P=\frac{b-1+a-1}{a^2}+\frac{c-1+b-1}{b^2}+\frac{a-1+c-1}{c^2}-\sum \frac{1}{a}$

=$(a-1)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2})+(b-1)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})+(c-1)(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{b^2})-\sum \frac{1}{a}$

$\geq \frac{2(a-1)}{ac}+\frac{2(b-1)}{ab}+\frac{2(c-1)}{bc}-\sum \frac{1}{a}$

$=\sum \frac{1}{a}-2 \geq \sqrt{3}-2$



#62 Darkness17

Darkness17

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

Đã gửi 17-04-2018 - 21:36

Bài 19:

Cho các số thực không âm a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

$\frac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + c} \right)}^2}}} \ge \frac{9}{{4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}$

 (Sưu tầm)

P/s: bài này đừng giải theo kiểu Iran 1996 :D

Chém tạm bài này vậy

Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có

$(a^2+b^2+c^2)[\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2}]\geq (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^2\geq (\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$

$\Rightarrow \frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2}\geq \frac{9}{4(a^2+b^2+c^2)}$$(Q.E.D)$

 

P/s: mọi người nên hạn chế post bài mới nên giải thêm các bài toán đã được đăng mà chưa có lời giải để tránh làm loãng Topic


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Darkness17: 17-04-2018 - 21:36


#63 xuanhoan23112002

xuanhoan23112002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 17-04-2018 - 21:53

Bài 27: Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: $a+b+c=3$

Chứng minh rằng $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 17-04-2018 - 23:24


#64 xuanhoan23112002

xuanhoan23112002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 17-04-2018 - 21:56

Bài 28(IMO 1961): Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c và có diện tích là S. Chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 17-04-2018 - 23:23


#65 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 467 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 17-04-2018 - 21:57

Ta có bổ đề quen thuộc $\sum \frac{a}{b+c-a} \geq 3$

 

$\sum \frac{1-2a^2}{(1-2a)^2}=\sum \frac{1-4a^2}{(1-2a)^2}+\frac{2a^2}{(1-2a)^2}$

$\sum \frac{1-4a^2}{(1-2a)^2}=\sum \frac{(a+b+c)^2-4a^2}{(b+c-a)^2}=\sum \frac{b+c+3a}{b+c-a}=3+\sum \frac{4a}{b+c-a }\geq 15$

 

$\sum \frac{2a^2}{(b+c-a)^2} \geq \sum \frac{2}{3}(\sum \frac{a}{b+c-a})^2\geq 6$

$-> P \geq 21$

 

Một cách khác dài hơn :)

$\sum \frac{1-2a^{2}}{(1-2a)^{2}}=\frac{1}{2}\left ( \sum \frac{1}{(1-2a)^{2}} \right )+\sum \frac{1}{1-2a}-\frac{3}{2}$

$\geq \frac{1}{6}\left ( \sum \frac{1}{2a-1} \right )^{2}+\sum \frac{1}{2a-1}-\frac{3}{2}$
$\geq \frac{1}{6}\frac{9^{2}}{(3-2(a+b+c)^{2})}+\frac{9}{3-2(a+b+c)}-\frac{3}{2}=21$

  N.D.P 

#66 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 270 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 17-04-2018 - 21:58

Bài 18: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: 

$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{a+c}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$

Áp dụng liên tục bất đẳng thức C-S và 2 bất đẳng thức: $a + b + c \le \sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}$ $3\left( {ab + bc + ac} \right) \le {\left( {a + b + c} \right)^2}$

$\frac{a}{{\sqrt {b + c} }} + \frac{b}{{\sqrt {c + a} }} + \frac{c}{{\sqrt {a + b} }} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{a\sqrt {b + c} + b\sqrt {a + c} + c\sqrt {a + b} }} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{\sqrt {\left( {a + b + c} \right)\left( {2{\rm{a}}b + 2bc + 2ca} \right)} }} \ge \frac{{\sqrt {3\left( {a + b + c} \right)} }}{{\sqrt 2 }} \ge \frac{{\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c }}{2}$



#67 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 467 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 17-04-2018 - 21:58

Bài 29: Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $\frac{a^{2}+bc}{a+bc}+\frac{b^{2}+ac}{b+ac}+\frac{c^{2}+ab}{c+ab}\geq 3$


  N.D.P 

#68 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 467 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 17-04-2018 - 22:08

Bài 10: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng 

$\frac{\sqrt{a^{4}+b^{4}}}{\sqrt{1+ab}}+\frac{\sqrt{b^{4}+c^{4}}}{\sqrt{1+bc}}+\frac{\sqrt{c^{4}+a^{4}}}{\sqrt{1+ac}}\geq 3$

 

Xin đưa ra lời giải :D

 

Ta có: $\sum_{sym}\sqrt{\frac{a^{4}+b^{4}}{1+ab}}=\sum_{sym}\sqrt{\frac{2(a^{4}+b^{4})}{2+2ab}}\geq \sum_{cyc}\frac{a^{2}}{\sqrt{2+2ab}}+\sum_{cyc}\frac{b^{2}}{\sqrt{2+2ab}}$

Theo $Cauchy-Schwarz$ và $AM-GM$ ta có: $\sum_{cyc}\frac{a^{2}}{\sqrt{2+2ab}}\geq \frac{2(a+b+c)^{2}}{\sum 2\sqrt{2+2ab}}\geq \frac{2(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ac+9}\geq \frac{3}{2}$
Tương tự cho $\sum_{cyc}\frac{b^{2}}{\sqrt{2+2ab}}$ 

  N.D.P 

#69 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 595 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 17-04-2018 - 22:43

Bài 27: Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: $a+b+c=3$

Chứng minh rằng $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$

Bài này hình như là Russia MO 2002 gì đó.

Bất đẳng thức tương đương:

$2\left (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )+a^2+b^2+c^2\geq (a+b+c)^2=9$

BĐT trên đúng vì theo AM - GM ta có: 

$a^2+\sqrt{a}+\sqrt{a}\geq 3a$. Thiết lập các BĐT còn lại ta có điều phải chứng minh.


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#70 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 595 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 17-04-2018 - 23:00

Bài 28(IMO 1961): Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c và có diện tích là S. Chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S$

Bất đẳng thức tương đương:

$\left ( a^2+b^2+c^2 \right )^2\geq 48p(p-a)(p-b)(p-c)\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$

Theo AM - GM và Schur ta có:

$(a^2+b^2+c^2)^2\geq \frac{(a+b+c)^4}{9}=3(a+b+c).\frac{(a+b+c)^3}{27}\geq 3(a+b+c).abc\geq 3(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 17-04-2018 - 23:01

$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#71 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 467 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 18-04-2018 - 11:06

Bài 30: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+xz=xyz$. Chứng minh rằng $\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{z^{2}}+\frac{z}{x^{2}}\geq 3\left ( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}} \right )$.


  N.D.P 

#72 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 467 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 18-04-2018 - 11:08

Bài 31: Cho $x,y,z$ thỏa mãn $13x+5y+12z=9$. Tìm giá trị lớn nhất của $A=\frac{xy}{2x+y}+\frac{3yz}{2y+z}+\frac{6zx}{2z+x}$


  N.D.P 

#73 conankun

conankun

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-04-2018 - 11:53

Bài 32: Cho $x,y \in R$ T/m $x^3+y^3=2$. Tìm min của $P=x^2+y^2+\frac{9}{x+y}$


                       $\large \mathbb{Conankun}$


#74 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 467 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 18-04-2018 - 11:57

Bài 18: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: 

$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{a+c}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$

 

Bạn tr2512 đã đưa ra một lời giải khá hay. Sau đây sẽ là một số cách khác ( có vẻ dài hơn :) )

 

Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 

$P=\frac{a}{(\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c})\sqrt{b+c}}+\frac{b}{(\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c})\sqrt{a+c}}+\frac{c}{(\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c})\sqrt{a+b}}\geq \frac{1}{2}$

Theo $AM-GM$ ta có: $\sqrt{2a}\sqrt{b+c}\leq \frac{2a+b+c}{2};\sqrt{2b}\sqrt{b+c}\leq \frac{3b+c}{2};\sqrt{2c}\sqrt{b+c}\leq \frac{b+3c}{2}$.

Tương tự nên ta có: $P\geq \frac{2a}{2a+5b+5c}+\frac{2b}{2b+5a+5c}+\frac{2c}{2c+5a+5b}=2\left ( \frac{a^{2}}{2a^{2}+5ab+5ac}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+5ab+5ac}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+5ac+5bc} \right )$

Áp dụng BDT $Cauchy-Schwarz$:

$\sum_{cyc}\frac{a^{2}}{2a^{2}+5ab+5ac}\geq 2\frac{(a+b+c)^{2}}{2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+10ab+10bc+10ca}\geq 2\frac{(a+b+c)^{2}}{4(a+b+c)^{2}}=\frac{1}{2}$ ( xong =)) )

 

Cách 3: Ta có: $P=(a+b+c)\left ( \frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{a+c}} \right )-(\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}+\sqrt{a+b})$

Theo BDT $Cauchy-schwarz$ ta có: $(a+b+c)\left ( \frac{1}{\sqrt{b+c}} +\frac{1}{\sqrt{c+a}}+\frac{1}{\sqrt{a+b}}  \right )\geq \frac{9(a+b+c)}{\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}}$

Lại có theo $AM-GM$: $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{3.2(a+b+c)}$. Từ đó ta có: 

$P\geq \frac{9(a+b+c)}{\sqrt{3.2(a+b+c)}}-\sqrt{3.2(a+b+c)}=\frac{\sqrt{3(a+b+c)}}{\sqrt{2}}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$ ( $Q.E.D$ )


  N.D.P 

#75 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 270 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 18-04-2018 - 12:15

Bài 33:

Cho các số thực không âm a, b, c trong đó không có hai số nào đồng thời bằng 0 và $a+b+c=3$. Chứng minh:

$\frac{a}{{{b^2} + \sqrt {ab} }} + \frac{b}{{{c^2} + \sqrt {bc} }} + \frac{c}{{{a^2} + \sqrt {ac} }} \ge \frac{3}{2}$ (Nguyễn Trung Hiếu)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 18-04-2018 - 12:15


#76 DinhXuanHung CQB

DinhXuanHung CQB

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Qb
  • Sở thích:ko

Đã gửi 18-04-2018 - 12:23

Nếu có thể hãy đưa ra lời giải cụ thể ?

30724973_514345702295217_801815831328168


Little Homie


#77 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 467 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 18-04-2018 - 15:43

Bài 28(IMO 1961): Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c và có diện tích là S. Chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S$

 

Theo công thức $He-rong$ ta có: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$. Đến đây áp dụng TƯƠNG ĐƯƠNG THẦN CHƯỞNG 

Đi đến một BDT luôn đúng: $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}$ :)


  N.D.P 

#78 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 467 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 18-04-2018 - 15:48

Bài 34: Cho $x,y,z>0$ và $xyz\geq 1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{x^{4}+y^{3}+z^{2}}+\frac{1}{y^{4}+z^{3}+x^{2}}+\frac{1}{z^{4}+x^{3}+y^{2}}\leq 1$


  N.D.P 

#79 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 270 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 18-04-2018 - 15:48

Bài 21:

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh:

$\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{8}{{{c^2}}} \ge \frac{{64}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}$ (Sưu tầm)

P/s: các bạn liệu cần bài khó hơn không :D

Một lời giải khác:

Ta sẽ đi chứng minh bổ đề:$\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge \frac{8}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} - \frac{8}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{a^2}{b^2} + 2{\rm{a}}{b^3} + {b^4} + {a^4} + 2{{\rm{a}}^3}b + {a^2}{b^2} - 8{{\rm{a}}^2}{b^2}}}{{{a^2}{b^2}\left( {{a^2} + 2{\rm{a}}b + {b^2}} \right)}} \ge 0\\$

$\Leftrightarrow \frac{{{a^4} + {b^4} + 2{\rm{a}}b\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - 6{{\rm{a}}^2}{b^2}}}{{{a^2}{b^2}\left( {{a^2} + 2{\rm{a}}b + {b^2}} \right)}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2} + 2{\rm{a}}b{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{a^2}{b^2}\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right)}} \ge 0$ (Luôn đúng)

Quay lại bài toán, áp dụng 2 lần bổ đề trên ta có:$\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{8}{{{c^2}}} \ge \frac{8}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \frac{8}{{{c^2}}} = 8\left( {\frac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right) \ge \frac{{64}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}$

Hoàn tất chứng minh.

@DinhXuanHung CQB: lời giải bạn rất tự nhiên và đơn giản, rất ấn tượng :D 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 18-04-2018 - 15:51


#80 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 270 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 18-04-2018 - 17:29

Bài 22:

Cho các số thực không âm a, b, c. Chứng minh: 

$\frac{{2a + b}}{{3a + 2b + c}} + \frac{{2b + c}}{{3b + 2c + a}} + \frac{{2c + a}}{{3c + 2a + b}} \le \frac{3}{2}$ (Phạm Quốc Sang)

Lời giải:

Bất đẳng thức trên tương đương với:

$1 - \frac{{a + b + c}}{{3a + 2b + c}} + 1 - \frac{{a + b + c}}{{3b + 2c + a}} + 1 - \frac{{a + b + c}}{{3c + 2a + b}} \le \frac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{{3a + 2b + c}} + \frac{1}{{3b + 2c + a}} + \frac{1}{{3c + 2a + b}}} \right) \ge \frac{3}{2}$

Tới đây, áp dụng bất đẳng thức C-S có:

$\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{{3a + 2b + c}} + \frac{1}{{3b + 2c + a}} + \frac{1}{{3c + 2a + b}}} \right) \ge \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{9}{{6\left( {a + b + c} \right)}}} \right) = \frac{3}{2}$

Hoàn tất chứng minh.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức, holder, cosi, bunhiacopxki

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh