Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN}}$ LỚP $10$ năm $2018-2019$

bất đẳng thức holder cosi bunhiacopxki

  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 318 trả lời

#81 HelpMeImDying

HelpMeImDying

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-04-2018 - 17:57

Bài 30: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+xz=xyz$. Chứng minh rằng $\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{z^{2}}+\frac{z}{x^{2}}\geq 3\left ( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}} \righ

Đặt $\frac{1}{x}=a; \frac{1}{y}=b; \frac{1}{z}=c\Rightarrow a+b+c= 1$

Bất đẳng thức $\Leftrightarrow \frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{b}+\frac{a^{2}}{c}\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Áp dụng AM-GM: $\frac{b^{2}}{a}+9ab^{2}\geq 6b^{2}$

Thiết lập các bđt tương tự thì bđt cần chứng minh trở thành

$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 9(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)\geq 3(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\geq 2(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})$

Đúng do: $a^{3}+ac^{2}\geq 2a^{2}c$

                $b^{3}+ba^{2}\geq 2ab^{2}$

                $c^{3}+cb^{2}\geq 2c^{2}b$



#82 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 271 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 18-04-2018 - 18:38

Bài 23

Cho các số thực không âm a, b, c mà trong đó không có 2 số nào đồng thời bằng 0.

Chứng minh: 

$\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{4{\rm{a}}bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \ge 2$ (Schur)

Cái này siêu basic nên mình làm cho vui thôi :D

$VT-VP$=$\frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3} + 3{\rm{x}}yz - xy\left( {x + y} \right) - yz\left( {y + z} \right) - z{\rm{x}}\left( {z + x} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}} \ge 0$ (Schur) :D 



#83 PhanThai0301

PhanThai0301

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An

Đã gửi 18-04-2018 - 18:57

Bài 35: Cho $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0 & & \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4 \end{matrix}\right.$ Tìm GTLN của biểu thức:

                       P= $\frac{1}{\alpha x+\beta y+\gamma z}+\frac{1}{\beta x+\gamma y+\alpha z}+\frac{1}{\gamma x+\alpha y+\beta z}$ với $\alpha ,\beta ,\gamma \in N^{*}$.


"IF YOU HAVE A DREAM TO CHASE,NOTHING NOTHING CAN STOP YOU"_M10

                                                                                                            


#84 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 18-04-2018 - 19:36

Bài 35: Cho $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0 & & \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4 \end{matrix}\right.$ Tìm GTLN của biểu thức:

                       P= $\frac{1}{\alpha x+\beta y+\gamma z}+\frac{1}{\beta x+\gamma y+\alpha z}+\frac{1}{\gamma x+\alpha y+\beta z}$ với $\alpha ,\beta ,\gamma \in N^{*}$.

alpha, beta, gamma lằng nhằng quá :)) mình thay bằng a,b,c. Ta có:

$\frac{1}{ ax+b y+c z}=\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{(ax+by+cz)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )}\leq \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}} \right )^2$

Tương tự thì 

$P\leq 3\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}} \right )^2\leq \frac{3}{81}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}} \right )^2$

Mặt khác:

$\sum \frac{1}{\sqrt{x}}=\sum \frac{\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{4}{3}}}{\sqrt{\frac{4}{3}}}\leq \frac{\sum\frac{1}{x}+4 }{2\sqrt{\frac{4}{3}}}=2\sqrt{3}$

Suy ra P$\leq\frac{4}{9}\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$

p/s: Bạn xem lại điểm rơi nhé sợ mình làm sai nhưng ý tưởng là vậy 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 18-04-2018 - 20:38

$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#85 buingoctu

buingoctu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:NG town
  • Sở thích:nghe nhạc, ngắm gái

Đã gửi 18-04-2018 - 20:02

Bài 36: Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=4.CMR:

$\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}>2\sqrt{2}$

Nguồn: Đề thi tuyển sinh tỉnh Vĩnh Phúc 2012-2013


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buingoctu: 18-04-2018 - 21:07


#86 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 18-04-2018 - 20:40

37. Với các số $a_{1}\,,\, a_{2}\,,\,...\,,\,a_{n}$ là hoán vị của tập $\left \{ 1\,; \,2\,;\, 3\,;\, ...\,;\, 2018 \right \}$. Tìm GTLN của $a_{1}\,a_{2}+ a_{2}\,a_{3}+ ...+ a_{2017}\,a_{2018}$



#87 badaosuotdoi

badaosuotdoi

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 47 Bài viết

Đã gửi 18-04-2018 - 21:10

Bài 29: Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $\frac{a^{2}+bc}{a+bc}+\frac{b^{2}+ac}{b+ac}+\frac{c^{2}+ab}{c+ab}\geq 3$

Ta có BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}-a}{a+bc}\geq 0$.....$\sum \frac{3a^{2}-3a}{a+bc}=\sum \frac{a((a-b)+(a-c))}{a+bc}=\sum \frac{(a-b)^{2}c(a+b)}{(a+bc)(b+ac)}\geq 0$..



#88 badaosuotdoi

badaosuotdoi

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 47 Bài viết

Đã gửi 18-04-2018 - 21:40

Bài 30: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+xz=xyz$. Chứng minh rằng $\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{z^{2}}+\frac{z}{x^{2}}\geq 3\left ( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}} \right )$.

Ta có BĐT $\Leftrightarrow \sum_{cyc}x^{3}z^{2}\geq 3\sum x^{2}y^{2}\Leftrightarrow \sum_{cyc}x^{3}z^{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 3\sum x^{2}y^{2}$

$\Leftrightarrow \sum_{cyc}(y^{3}x+\frac{z^{3}y^{2}}{x})\geq 2\sum x^{2}y^{2}$...Dễ thấy $\sum_{cyc}\frac{z^{3}y^{2}}{x}\geq 2\sum x^{2}y^{2}-xyz(x+y+z),\sum_{cyc}y^{3}x\geq xyz(x+y+z)$.....$\rightarrow$ đpcm



#89 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 471 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 18-04-2018 - 22:10

Bài 24: Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\neq 0$. Chứng minh rằng $\sum_{cyc}\frac{a^{2}-bc}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 0$

 

Đăng bài giải :D

Cách 1: Dùng tương đương thần chưởng =))

Ta có: $\sum_{cyc}\frac{a^{2}-bc}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sum_{cyc}\frac{(a-c)(a+b)+(a-b)(a+c)}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sum_{cyc}(a-c)\left ( \frac{a+b}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{b+c}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}} \right )$

$=\frac{(a-c)^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac)}{(2a^{2}+b^{2}+c^{2})(2c^{2}+b^{2}+a^{2})}\geq 0$ Bất đẳng thức này luôn đúng.

 

Cách 2: 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương $-\frac{2a^{2}-2bc}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+1-\frac{2b^{2}-2ac}{2b^{2}+a^{2}+c^{2}}+1-\frac{2c^{2}-2ab}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}}+1\geq 3$$\Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{(a+b)^{2}}{2c^{2}+b^{2}+a^{2}}\leq 3$

Áp dụng $Cauchy-schwarz$ ta có: $\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+c^{2}}\geq \frac{(b+c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}$. Tương tự cộng vế theo vế có $dpcm$.


  N.D.P 

#90 MarkGot7

MarkGot7

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 67 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:~AK43-THPT Đặng Thúc Hứa
  • Sở thích:Đường

Đã gửi 18-04-2018 - 22:15

Bài 36: Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=4.CMR:

$\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}>2\sqrt{2}$

Nguồn: Đề thi tuyển sinh tỉnh Vĩnh Phúc 2012-2013

https://i.pinimg.com...7e4a089987e.jpg

 Nhân cả hai vế với $\sqrt{2}$ , ta được:

  $\sqrt[4]{4a^{3}}+ \sqrt[4]{4b^{3}}+ \sqrt[4]{4c^{3}}> 4$ (*)

$\Rightarrow$ Cần chứng minh (*):

 Vì $a+b+c=4 \Rightarrow VT\doteq \sqrt[4]{(a+b+c)a^{3}} + \sqrt[4]{(a+b+c)b^{3}} + \sqrt[4]{(a+b+c)c^{3}}$

Vì $a, b,c > 0$ $\Rightarrow$ VT $> \sqrt[4]{a^{4}}+ \sqrt[4]{b^{4}}+ \sqrt[4]{c^{4}} \doteq a+b+c\doteq 4= VP \Rightarrow (*)\Rightarrow$

đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MarkGot7: 18-04-2018 - 22:26

Cuộc đời lắm chông gai thử thách. Chỉ khi ta cố gắng vượt qua, ta mới biết chân quý những thứ mình có được. :icon12:  :icon12:  :icon12:  %%- 


#91 doraemon123

doraemon123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 169 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 18-04-2018 - 22:50

Bài 38:
IMG_20180418_224653.jpg
P/s: Xin lỗi m.n mình đang dùng đt nên không gõ Latex được


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doraemon123: 19-04-2018 - 12:56

$\sqrt{MF}$  math is like reality that so many problem to solve $\sqrt{MATH}$

                                               (~~) (~~) :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2:  (~~) (~~) 


#92 thanhdatqv2003

thanhdatqv2003

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo Hải Tặc
  • Sở thích:$\boxed{\text{ONE PIECE}\bigstar}$

Đã gửi 18-04-2018 - 23:15

Ta có bổ đề quen thuộc $\sum \frac{a}{b+c-a} \geq 3$

$\sum \frac{1-2a^2}{(1-2a)^2}=\sum \frac{1-4a^2}{(1-2a)^2}+\frac{2a^2}{(1-2a)^2}$
$\sum \frac{1-4a^2}{(1-2a)^2}=\sum \frac{(a+b+c)^2-4a^2}{(b+c-a)^2}=\sum \frac{b+c+3a}{b+c-a}=3+\sum \frac{4a}{b+c-a }\geq 15$

$\sum \frac{2a^2}{(b+c-a)^2} \geq \sum \frac{2}{3}(\sum \frac{a}{b+c-a})^2\geq 6$
$-> P \geq 21$


:ohmy: [Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả mãn xn + yn = zn trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.  (FERMAT)  :ohmy: 

 

 

 

 


#93 thanhdatqv2003

thanhdatqv2003

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo Hải Tặc
  • Sở thích:$\boxed{\text{ONE PIECE}\bigstar}$

Đã gửi 18-04-2018 - 23:16

Chứng minh bổ đề như thế nào vậy b

 

Bạn nào ns rõ đc cách chứng minh thì càng tốt


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 19-04-2018 - 11:49

:ohmy: [Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả mãn xn + yn = zn trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.  (FERMAT)  :ohmy: 

 

 

 

 


#94 PhanThai0301

PhanThai0301

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An

Đã gửi 19-04-2018 - 00:00

Bài 39: Cho $\left\{\begin{matrix} x, y ,z >0 & & \\ xyz=1 & & \end{matrix}\right.$, chứng minh rằng:

                     P= $\frac{\sqrt{m+x^{3}+y^{3}}}{xy}+\frac{\sqrt{m+x^{3}+y^{3}}}{yz}+\frac{\sqrt{m+z^{3}+z^{3}}}{zx}\geq 3\sqrt{3}$ với $m\epsilon N^{*}$.


"IF YOU HAVE A DREAM TO CHASE,NOTHING NOTHING CAN STOP YOU"_M10

                                                                                                            


#95 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 471 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 19-04-2018 - 00:01

Chứng minh bổ đề như thế nào vậy b

 

Bạn nào ns rõ đc cách chứng minh thì càng tốt

em không nên spam như vậy, làm nhiễu topic quá

P/s: đã gộp, anh cũng đang spam đó ạ, lần này coi như bỏ qua :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 19-04-2018 - 11:50

  N.D.P 

#96 melodias2002

melodias2002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sao Hoả

Đã gửi 19-04-2018 - 00:49

Bài 40: Cho các số $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $\sum\frac{1}{a^2+2b^2+3}\leq\frac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 19-04-2018 - 11:50


#97 ngominh7s5

ngominh7s5

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Đã gửi 19-04-2018 - 12:56

Mình góp vui 1 bài :).

Bài 41: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng
$$ab^2+bc^2+ca^2\le\frac 19.$$

#98 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 271 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 19-04-2018 - 13:21

Bài 33:

Cho các số thực không âm a, b, c trong đó không có hai số nào đồng thời bằng 0 và $a+b+c=3$. Chứng minh:

$\frac{a}{{{b^2} + \sqrt {ab} }} + \frac{b}{{{c^2} + \sqrt {bc} }} + \frac{c}{{{a^2} + \sqrt {ac} }} \ge \frac{3}{2}$ (Nguyễn Trung Hiếu)

Lời giải:

Với ý tưởng là AM-GM ngược dấu, ta có:

$\frac{a}{{{b^2} + \sqrt {ab} }} = \frac{{a\sqrt b }}{{{b^2}\sqrt b + b\sqrt a }} = \frac{{\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\left( {b\sqrt a + {b^2}\sqrt b } \right) - {b^2}\sqrt a }}{{{b^2}\sqrt b + b\sqrt a }} = \sqrt {\frac{a}{b}} - \frac{{{b^2}\sqrt a }}{{{b^2}\sqrt b + b\sqrt a }} \ge \sqrt {\frac{a}{b}} - \frac{{{b^2}\sqrt a }}{{2b\sqrt {b\sqrt {ab} } }}\\ = \sqrt {\frac{a}{b}} - \frac{{4\sqrt[4]{{ab}}}}{8} \ge \sqrt {\frac{a}{b}} - \frac{{a + b + 1 + 1}}{8} = \sqrt {\frac{a}{b}} - \frac{{a + b + 2}}{8}$

Lập 2 bất đẳng thức tương tự và sử dụng đánh giá: $\sqrt {\frac{a}{b}} + \sqrt {\frac{b}{c}} + \sqrt {\frac{c}{a}} \ge 3$ Ta thu được điều phải chứng minh.



#99 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 271 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 19-04-2018 - 13:24

Mình góp vui 1 bài :).

Bài 41: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng
$$ab^2+bc^2+ca^2\le\frac 19.$$

Đề bài không chính xác, bộ số (0.1;0.3;0.6) là một phản ví dụ.



#100 ngominh7s5

ngominh7s5

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Đã gửi 19-04-2018 - 14:23

@tr2512. Đấy là bddt mình thử dùng để giải một bài toán khác nhưng có vẻ như mình chứng minh sai rồi  :luoi: .

 

Bài toán gốc như sau.

 

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của 

$$P=\frac{a}{1+9b^2}+\frac{b}{1+9c^2}+\frac{c}{1+9a^2}.$$







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh