Bài 35: Cho $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0 & & \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4 \end{matrix}\right.$ Tìm GTLN của biểu thức:
P= $\frac{1}{\alpha x+\beta y+\gamma z}+\frac{1}{\beta x+\gamma y+\alpha z}+\frac{1}{\gamma x+\alpha y+\beta z}$ với $\alpha ,\beta ,\gamma \in N^{*}$.
alpha, beta, gamma lằng nhằng quá
mình thay bằng a,b,c. Ta có:
$\frac{1}{ ax+b y+c z}=\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{(ax+by+cz)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )}\leq \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}} \right )^2$
Tương tự thì
$P\leq 3\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}} \right )^2\leq \frac{3}{81}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}} \right )^2$
Mặt khác:
$\sum \frac{1}{\sqrt{x}}=\sum \frac{\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{4}{3}}}{\sqrt{\frac{4}{3}}}\leq \frac{\sum\frac{1}{x}+4 }{2\sqrt{\frac{4}{3}}}=2\sqrt{3}$
Suy ra P$\leq\frac{4}{9}\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$
p/s: Bạn xem lại điểm rơi nhé sợ mình làm sai nhưng ý tưởng là vậy
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 18-04-2018 - 20:38