4 replies to this topic

[Qatxx2405]

Cho a, b là các số thực dương, a + 2b = ab.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{a^{2}}{4 + 8b} + \frac{b^{2}}{1 + a}$

Edited by Qatxx2405, 16-04-2018 - 21:28.

[tr2512]

Cho a, b là các số thực dương, a + 2b = ab.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{a^{2}}{4 + 8b} + \frac{b^{2}}{1 + a}$

Khảo sát hàm

Từ giả thiết ta thu được: $a = \frac{{2b}}{{b - 1}}$ mà do $a\ge 0$ nên $b \ge 1#

Khi đó$P = \frac{{{{\left( {\frac{{2b}}{{b - 1}}} \right)}^2}}}{{4 + 8b}} + \frac{{{b^2}}}{{1 + \frac{{2b}}{{b - 1}}}} = \frac{{{b^2}\left( {2{b^4} - 5{b^3} + 3{b^2} + 4b - 2} \right)}}{{{{\left( {b - 1} \right)}^2}\left( {2b + 1} \right)\left( {3b - 1} \right)}}$:

Tất nhiên, đạo cái hàm này là không tưởng

Tuy vậy, ta dự đoán được $MinP=1.6 khi b=2$.

Ta có P-1.6

=$\frac{{{{\left( {b - 2} \right)}^2}\left( {10{b^4} + 15{b^3} - 13{b^2} - 4b + 2} \right)}}{{5{{\left( {b - 1} \right)}^2}\left( {2b + 1} \right)\left( {3b - 1} \right)}}$

Với đạo hàm, dễ dàng kiểm tra được đẳng thức cuối lớn hơn hoặc bằng 0.

Hoàn tất chứng minh.

Edited by tr2512, 16-04-2018 - 21:56.

[Korkot]

Lớp 9 chưa học đạo hàm anh ơi. Anh đưa ra cách giải khác được không?

[tr2512]

Lớp 9 chưa học đạo hàm anh ơi. Anh đưa ra cách giải khác được không?

đây là box THPT mà  

[hoangkimca2k2]

Cho a, b là các số thực dương, a + 2b = ab.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{a^{2}}{4 + 8b} + \frac{b^{2}}{1 + a}$

Dự đoán dấu bằng xảy ra tại $a=4;b=2$

Ta có: $ab=a+2b\geq 2\sqrt{2ab}$$\Rightarrow ab\geq 8$.

Lại có: $P=\frac{a^{2}}{4 + 8b} + \frac{b^{2}}{1 + a}$

$=\frac{a^{2}}{4 + 8b} + \frac{4b^{2}}{4 + 4a}\geq \frac{(a+2b)^{2}}{8+4(a+2b)}$ $=\frac{(ab)^{2}}{8+4ab}$

$=\frac{1}{4}\frac{(ab)^{2}}{2+ab}=\frac{1}{4}\left (\frac{(ab+2)^{2}}{ab+2}-\frac{4ab+4}{ab+2}  \right )$

$=\frac{1}{4}\left ( ab+2-4+\frac{4}{ab+2} \right )$

$=\frac{1}{4}(\frac{ab+2}{25}+\frac{4}{ab+2}+\frac{24(ab+2)}{25}-4)$

Đến đây dùng $AM-GM$ và sử dụng $ab\geq 8$ là OK