Đến nội dung


Thông báo

Thời gian vừa qua do diễn đàn gặp một số vấn đề về kĩ thuật nên thỉnh thoảng không truy cập được, mong các bạn thông cảm. Hiện nay vấn đề này đã được giải quyết triệt để. Nếu các bạn gặp lỗi trong lúc sử dụng diễn đàn, xin vui lòng thông báo cho Ban Quản Trị.


Hình ảnh

Cho a, b > 0, a + 2b = ab. Tìm min P = $\frac{a^{2}}{4 + 8b} + \frac{b^{2}}{1 + a}$

bất đẳng thức toán 10

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Qatxx2405

Qatxx2405

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đã gửi 16-04-2018 - 21:05

Cho a, b là các số thực dương, a + 2b = ab.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{a^{2}}{4 + 8b} + \frac{b^{2}}{1 + a}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Qatxx2405: 16-04-2018 - 21:28


#2 tr2512

tr2512

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 16-04-2018 - 21:43

Cho a, b là các số thực dương, a + 2b = ab.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{a^{2}}{4 + 8b} + \frac{b^{2}}{1 + a}$

Khảo sát hàm :D

Từ giả thiết ta thu được: $a = \frac{{2b}}{{b - 1}}$ mà do $a\ge 0$ nên $b \ge 1#

Khi đó$P = \frac{{{{\left( {\frac{{2b}}{{b - 1}}} \right)}^2}}}{{4 + 8b}} + \frac{{{b^2}}}{{1 + \frac{{2b}}{{b - 1}}}} = \frac{{{b^2}\left( {2{b^4} - 5{b^3} + 3{b^2} + 4b - 2} \right)}}{{{{\left( {b - 1} \right)}^2}\left( {2b + 1} \right)\left( {3b - 1} \right)}}$:

Tất nhiên, đạo cái hàm này là không tưởng :D

Tuy vậy, ta dự đoán được $MinP=1.6 khi b=2$.

Ta có P-1.6

=$\frac{{{{\left( {b - 2} \right)}^2}\left( {10{b^4} + 15{b^3} - 13{b^2} - 4b + 2} \right)}}{{5{{\left( {b - 1} \right)}^2}\left( {2b + 1} \right)\left( {3b - 1} \right)}}$

Với đạo hàm, dễ dàng kiểm tra được đẳng thức cuối lớn hơn hoặc bằng 0.

Hoàn tất chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 16-04-2018 - 21:56


#3 Korkot

Korkot

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Far far away
  • Sở thích:Đang cân nhắc chuyển sang học chuyên Anh (tỉ lệ 90%)

Đã gửi 16-04-2018 - 22:02

Lớp 9 chưa học đạo hàm anh ơi. Anh đưa ra cách giải khác được không?



#4 tr2512

tr2512

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 17-04-2018 - 07:15

Lớp 9 chưa học đạo hàm anh ơi. Anh đưa ra cách giải khác được không?

đây là box THPT mà :) 



#5 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 391 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nowhere
  • Sở thích:Bất Đẳng Thức

Đã gửi 17-04-2018 - 09:45

Cho a, b là các số thực dương, a + 2b = ab.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{a^{2}}{4 + 8b} + \frac{b^{2}}{1 + a}$

Dự đoán dấu bằng xảy ra tại $a=4;b=2$

Ta có: $ab=a+2b\geq 2\sqrt{2ab}$$\Rightarrow ab\geq 8$.

Lại có: $P=\frac{a^{2}}{4 + 8b} + \frac{b^{2}}{1 + a}$

$=\frac{a^{2}}{4 + 8b} + \frac{4b^{2}}{4 + 4a}\geq \frac{(a+2b)^{2}}{8+4(a+2b)}$ $=\frac{(ab)^{2}}{8+4ab}$

$=\frac{1}{4}\frac{(ab)^{2}}{2+ab}=\frac{1}{4}\left (\frac{(ab+2)^{2}}{ab+2}-\frac{4ab+4}{ab+2}  \right )$

$=\frac{1}{4}\left ( ab+2-4+\frac{4}{ab+2} \right )$

$=\frac{1}{4}(\frac{ab+2}{25}+\frac{4}{ab+2}+\frac{24(ab+2)}{25}-4)$

Đến đây dùng $AM-GM$ và sử dụng $ab\geq 8$ là OK :)


$\dagger$
$\fbox{$\varsigma J\varnothing K\Xi\mathbb{R}\zeta $}$
Ghé thăm [Topic] của tôi tại đây: https://diendantoanh...11/#entry706367

 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh