Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho a, b > 0, a + 2b = ab. Tìm min P = $\frac{a^{2}}{4 + 8b} + \frac{b^{2}}{1 + a}$

bất đẳng thức toán 10

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Qatxx2405

Qatxx2405

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đã gửi 16-04-2018 - 21:05

Cho a, b là các số thực dương, a + 2b = ab.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{a^{2}}{4 + 8b} + \frac{b^{2}}{1 + a}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Qatxx2405: 16-04-2018 - 21:28


#2 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 264 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 16-04-2018 - 21:43

Cho a, b là các số thực dương, a + 2b = ab.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{a^{2}}{4 + 8b} + \frac{b^{2}}{1 + a}$

Khảo sát hàm :D

Từ giả thiết ta thu được: $a = \frac{{2b}}{{b - 1}}$ mà do $a\ge 0$ nên $b \ge 1#

Khi đó$P = \frac{{{{\left( {\frac{{2b}}{{b - 1}}} \right)}^2}}}{{4 + 8b}} + \frac{{{b^2}}}{{1 + \frac{{2b}}{{b - 1}}}} = \frac{{{b^2}\left( {2{b^4} - 5{b^3} + 3{b^2} + 4b - 2} \right)}}{{{{\left( {b - 1} \right)}^2}\left( {2b + 1} \right)\left( {3b - 1} \right)}}$:

Tất nhiên, đạo cái hàm này là không tưởng :D

Tuy vậy, ta dự đoán được $MinP=1.6 khi b=2$.

Ta có P-1.6

=$\frac{{{{\left( {b - 2} \right)}^2}\left( {10{b^4} + 15{b^3} - 13{b^2} - 4b + 2} \right)}}{{5{{\left( {b - 1} \right)}^2}\left( {2b + 1} \right)\left( {3b - 1} \right)}}$

Với đạo hàm, dễ dàng kiểm tra được đẳng thức cuối lớn hơn hoặc bằng 0.

Hoàn tất chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 16-04-2018 - 21:56


#3 Korkot

Korkot

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 16-04-2018 - 22:02

Lớp 9 chưa học đạo hàm anh ơi. Anh đưa ra cách giải khác được không?


  Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một  cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.

                   :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like 


#4 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 264 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 17-04-2018 - 07:15

Lớp 9 chưa học đạo hàm anh ơi. Anh đưa ra cách giải khác được không?

đây là box THPT mà :) 



#5 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 464 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:................

Đã gửi 17-04-2018 - 09:45

Cho a, b là các số thực dương, a + 2b = ab.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{a^{2}}{4 + 8b} + \frac{b^{2}}{1 + a}$

Dự đoán dấu bằng xảy ra tại $a=4;b=2$

Ta có: $ab=a+2b\geq 2\sqrt{2ab}$$\Rightarrow ab\geq 8$.

Lại có: $P=\frac{a^{2}}{4 + 8b} + \frac{b^{2}}{1 + a}$

$=\frac{a^{2}}{4 + 8b} + \frac{4b^{2}}{4 + 4a}\geq \frac{(a+2b)^{2}}{8+4(a+2b)}$ $=\frac{(ab)^{2}}{8+4ab}$

$=\frac{1}{4}\frac{(ab)^{2}}{2+ab}=\frac{1}{4}\left (\frac{(ab+2)^{2}}{ab+2}-\frac{4ab+4}{ab+2}  \right )$

$=\frac{1}{4}\left ( ab+2-4+\frac{4}{ab+2} \right )$

$=\frac{1}{4}(\frac{ab+2}{25}+\frac{4}{ab+2}+\frac{24(ab+2)}{25}-4)$

Đến đây dùng $AM-GM$ và sử dụng $ab\geq 8$ là OK :)


 

 

 

     

      ⎝╰‿╯⎠

      ꧁༺༒༻꧂






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh


    Google (1)