Cho a, b là các số thực dương, a + 2b = ab.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{a^{2}}{4 + 8b} + \frac{b^{2}}{1 + a}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Qatxx2405: 16-04-2018 - 21:28
Cho a, b là các số thực dương, a + 2b = ab.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{a^{2}}{4 + 8b} + \frac{b^{2}}{1 + a}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Qatxx2405: 16-04-2018 - 21:28
Cho a, b là các số thực dương, a + 2b = ab.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{a^{2}}{4 + 8b} + \frac{b^{2}}{1 + a}$
Khảo sát hàm
Từ giả thiết ta thu được: $a = \frac{{2b}}{{b - 1}}$ mà do $a\ge 0$ nên $b \ge 1#
Khi đó$P = \frac{{{{\left( {\frac{{2b}}{{b - 1}}} \right)}^2}}}{{4 + 8b}} + \frac{{{b^2}}}{{1 + \frac{{2b}}{{b - 1}}}} = \frac{{{b^2}\left( {2{b^4} - 5{b^3} + 3{b^2} + 4b - 2} \right)}}{{{{\left( {b - 1} \right)}^2}\left( {2b + 1} \right)\left( {3b - 1} \right)}}$:
Tất nhiên, đạo cái hàm này là không tưởng
Tuy vậy, ta dự đoán được $MinP=1.6 khi b=2$.
Ta có P-1.6
=$\frac{{{{\left( {b - 2} \right)}^2}\left( {10{b^4} + 15{b^3} - 13{b^2} - 4b + 2} \right)}}{{5{{\left( {b - 1} \right)}^2}\left( {2b + 1} \right)\left( {3b - 1} \right)}}$
Với đạo hàm, dễ dàng kiểm tra được đẳng thức cuối lớn hơn hoặc bằng 0.
Hoàn tất chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 16-04-2018 - 21:56
Lớp 9 chưa học đạo hàm anh ơi. Anh đưa ra cách giải khác được không?
Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.
Lớp 9 chưa học đạo hàm anh ơi. Anh đưa ra cách giải khác được không?
đây là box THPT mà
Cho a, b là các số thực dương, a + 2b = ab.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{a^{2}}{4 + 8b} + \frac{b^{2}}{1 + a}$
Dự đoán dấu bằng xảy ra tại $a=4;b=2$
Ta có: $ab=a+2b\geq 2\sqrt{2ab}$$\Rightarrow ab\geq 8$.
Lại có: $P=\frac{a^{2}}{4 + 8b} + \frac{b^{2}}{1 + a}$
$=\frac{a^{2}}{4 + 8b} + \frac{4b^{2}}{4 + 4a}\geq \frac{(a+2b)^{2}}{8+4(a+2b)}$ $=\frac{(ab)^{2}}{8+4ab}$
$=\frac{1}{4}\frac{(ab)^{2}}{2+ab}=\frac{1}{4}\left (\frac{(ab+2)^{2}}{ab+2}-\frac{4ab+4}{ab+2} \right )$
$=\frac{1}{4}\left ( ab+2-4+\frac{4}{ab+2} \right )$
$=\frac{1}{4}(\frac{ab+2}{25}+\frac{4}{ab+2}+\frac{24(ab+2)}{25}-4)$
Đến đây dùng $AM-GM$ và sử dụng $ab\geq 8$ là OK
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh