Chủ đề này có 4 trả lời

[Mihawkdacula]

+ Tính diện tích miền D giới hạn bởi các đường

$y=2^x$;  $y=-2x$ và $y=4$

+ Cho hàm $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục. Gọi D là hình tròn đóng tâm $O(0;0)$ bán kính $r$. Tính $\lim_{r\to0}\frac{1}{r}\iint_{D}f(x,y)dxdy$.

[An Infinitesimal]

 

+ Cho hàm $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục. Gọi D là hình tròn đóng tâm $O(0;0)$ bán kính $r$. Tính $\lim_{r\to0}\frac{1}{r}\iint_{D}f(x,y)dxdy$.

 

Bạn có nhầm lẫn đề $\lim_{r\to0}\frac{1}{r}\iint_{D}f(x,y)dxdy$ với $\lim_{r\to0}\frac{1}{r^2}\iint_{D}f(x,y)dxdy$ không?
Nếu là cái thứ nhất có vẻ dễ hơn!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 18-04-2018 - 12:02

[Mihawkdacula]

Bạn có nhầm lẫn đề $\lim_{r\to0}\frac{1}{r}\iint_{D}f(x,y)dxdy$ với $\lim_{r\to0}\frac{1}{r^2}\iint_{D}f(x,y)dxdy$ không?
Nếu là cái thứ nhất có vẻ dễ hơn!

Đúng đề rồi bạn, mà nếu được bạn tính giúp mình $\lim_{r\to 0}\frac{1}{r^2}\iint_{D}f(x,y)dxdy$ luôn nha !

[An Infinitesimal]

 

+ Cho hàm $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục. Gọi D là hình tròn đóng tâm $O(0;0)$ bán kính $r$. Tính $\lim_{r\to0}\frac{1}{r}\iint_{D}f(x,y)dxdy$.

Gọi $D_r$ là hình tròn đóng tâm $O(0;0)$ bán kính $r$ và $M_r= \displaystyle\max_{(x,y)\in D_r}\{|f(x,y)|\}$.

 

Khi đó, $\left| \iint_{D_r}f(x,y)dxdy\right|\le  \iint_{D_r} M_1dxdy= M_1 \pi r^2, \forall r\le 1.$

 

Dùng Định lý kẹp, ta có  $\displaystyle \lim_{r\to 0^{+}} \frac{1}{r}\iint_{D_r}f(x,y)dxdy=0. $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 19-04-2018 - 20:48

[An Infinitesimal]

Bài toán:

 

 

 Cho hàm $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục. Gọi D là hình tròn đóng tâm $O(0;0)$ bán kính $r$. Tính $\lim_{r\to0}\frac{1}{r^2}\iint_{D_r}f(x,y)dxdy$.

 

Giải:

 

Áp dụng định lý giá trị trung bình, ta có $\frac{1}{\pi r^2}\iint_{D_r} f(x,y) dxdy= f(x_r,y_r),$ trong đó $(x_r,y_r)\in D_r$.

 

Ý tưởng thô: Khi $r\to 0^{+}, \, (x_r,y_r)\to (0,0)$. Hơn nữa, $f$ liên tục tại $(0,0)$. Suy ra $\lim_{r\to0}\frac{1}{r^2}\iint_{D_r}f(x,y)dxdy=\pi f(0,0).$.