Chủ đề này có 1 trả lời

[Khoa Linh]

Giải phương trình:

$x^3+6x^2+5x-3=(2x+5)\sqrt{2x+3}$

(TS lớp 10 tỉnh Phú Thọ 2014-2015)

[trambau]

Giải phương trình:

$x^3+6x^2+5x-3=(2x+5)\sqrt{2x+3}$

(TS lớp 10 tỉnh Phú Thọ 2014-2015)

Cách đơn giản nhất vẫn là liên hợp 

$x^3+4x^2-2x-8+(2x+5)\frac{x^2-2}{x+1+\sqrt{2x+3}}=0$

$\Leftrightarrow (x^2-2)(x+4)+(2x+5)\frac{x^2-2}{x+1+\sqrt{2x+3}}=0$

$\Leftrightarrow (x^2-2)(x+4+\frac{2x+5}{x+1+\sqrt{2x+3}})=0$

Cách khác

cách 1: 

$PT\Leftrightarrow (x^3+3x^2+3x+1)+3(x^2+2x+1)+2(x+1)=(2x+3)\sqrt{2x+3}+3(2x+3)+2\sqrt{2x+3}$

$\Leftrightarrow (x+1)^3+3(x+1)^2+2(x+1)=(2x+3)\sqrt{2x+3}+3(2x+3)+2\sqrt{2x+3}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=x+1(a\geq \frac{-1}{2}) & & \\ b=\sqrt{2x+3} (b\geq 0)& & \end{matrix}\right.$

Khi đó

$a^3+3a^2+2a=b^3+3b^2+2b (1)\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2+3a+3b+2)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=b & & \\ a^2+ab+b^2+3a+3b+2=0(2) & & \end{bmatrix}$

Ta có : $(1)\Leftrightarrow a(a+1)(a+2)=b^3+3b^2+2b$

Do $b\geq 0\Rightarrow b^3+3b^2+2b\geq 0\Rightarrow a(a+1)(a+2)\geq 0\Rightarrow a\geq 0$ (Do điều kiện )

Kết hợp với $(2)$ suy ra vô nghiệm. Vậy $a=b$ =>.....

Cách 2

$PT\Leftrightarrow 8x^3+48x^2+40x-8(2x+5)\sqrt{2x+3}-24=0$

Đặt $a=\sqrt{2x+3}\geq 0\Rightarrow 2x=a^3-3$

PT trở thành $(a^2-3)^3+12(a^2-3)^2+20(a^2-3)-8(a^2+2)a-24=0\Leftrightarrow (a^2-2a-1)(a^4+2a^3+8a^2+10a+3)=0$

$\Rightarrow a^2-2a-1=0\Rightarrow a=1\pm \sqrt{2}$