Mình thấy có một số bài tập về tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất có thể nói là khá hay sau đây mình sẽ đưa ra một số bài toán và cách giải theo lối bán trắc nghiệm và tự luận
Ví dụ 1: cho hàm số $y=|x^2+ax+b|$,$M$ là giá trị lớn nhất của $y$ trên đoạn $[-1;3]$ tìm $a,b$ để $M$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Thực sự bài này nếu làm bình thường tự luận sẽ không dễ,tuy nhiên ở đây mình sẽ đơn giản nó bằng cách làm trắc nghiệm như sau(mình đã kiểm nghiệm và thấy nó chính xác).Ý tưởng bài này là dựa trên đa thức chebyshev cho nên sẽ đổi biến để đưa về đoạn $[-1;1]$, đặt $x=at+b$,với $x=-1$ thì $t=-1$ và với $x=3$ thì $t=1$ $\Rightarrow$ $x=2t+1$,thay vào biểu thức ta có $y=|4t^2+(4+2a)t+a+b+1|$,do $y\leq M$ suy ra $4t^2+(4+2a)t+a+b+1\leq M$,đặt $f(t)=4t^2+(4+2a)t+a+b+1$,$g(t)=M(2t^2-1)$ (ở đây ta đặt như vậy vì từ đẳng thức $cos2x=2cos^2 x-1$,$k(t)=f(t)-g(t)$.Ta có $k(1)=f(1)-M\leq0$,$k(0)=f(0)+M\geq0$,$k(-1)=f(-1)-M\leq0$,thực ra đến đây có thể thấy là đa thức $k(t)\equiv 0$
(kiểu gì cũng sẽ triệt tiêu hệ số của thằng bậc 2,đa thức bậc nhất có 2 nghiệm thì nó phải là đa thức 0,**mẹo làm trắc nghiệm là đến đây bạn cho các hệ số bằng 0**).Tức là $4-2M=0,4+2a=0,1+a+b+1=0$ tức là $M=2,a=-2,b=-1$. Một bài toán phải nói là ko dễ đúng không các bạn nhưng cách làm trắc nghiệm rất đơn giản(và ở đây ta không quan tâm đến chi tiết max đạt min)
Ví dụ 2: Cho hàm số $y=|2x^2+ax+b|$,biết giá trị lớn nhất của $y$ trên đoạn $[-1;1]$ là 1,tìm $a,b$.Ta xét $f(x)=2x^2+ax+b,g(x)=1(2x^2-1),k(x)=f(x)-g(x)$,đồng nhất các hệ số của đa thức $k(x)$ bằng 0 ta có $a=0,b=-1$( quá đơn giản phải không)
Ví dụ 3: Cho hàm số $y=|8x^4+ax^2+b|$,giá trị lớn nhất của $y$ trên đoạn $[-1;1]$ là 1,tính tổng $a+b$.Ta xét $f(x)=8x^4+ax^2+b,g(x)=1(8x^4-8x^2+1)$(khai triển $cos4x=8cos^4 x-8cos^2 x+1$),$k(x)=f(x)-g(x)$,đồng nhất hệ số đa thức $k(x)=0$ ta có $a=-8,b=-1$ suy ra $a+b=-7$
Ví dụ 4: Cho hàm số $y=|4x^3+ax^2+bx+c|$,giá trị lớn nhất của $y$ trên đoạn $[-1;1]$ là 1.Tính tổng $a+2b+3c$.Ta xét $f(x)=4x^3+ax^2+bx+c,g(x)=1(4x^3-3x),k(x)=f(x)-g(x)$,đồng nhất hệ số $k(x)=0$,ta có $a=0,b=-3,c=0$ suy ra $a+2b+3c=-6$
Ví dụ 5: Cho hàm số $y=|ax^2+bx-2|$,giá trị lớn nhất của $y$ trên đoạn $[-1;3]$ là $M$.Khi $M$ đạt giá trị nhỏ nhất,tính $a+b$
Đổi biến,đặt $x=2t+1$,$f(t)=a(2t+1)^2+b(2t+1)-2,g(t)=M(2t^2-1),k(t)=f(t)-g(t)$,đồng nhất hệ số $k(t)=0$ ta có $4a-2M=0,4a+2b=0,a+b-2+M=0$ suy ra $a=2,b=-4,M=4$ suy ra $a+b=-2$
Ví dụ 6: Cho hàm số $y=|ax^3+bx^2+cx+d|$,giá trị lớn nhất của $y$ trên đoạn $[-1;3]$ là 6.Tính $a^2+b^2+c^2+d^2$
Xét $f(t)=a(2t+1)^3+b(2t+1)^2+c(2t+1)+d,g(t)=6(4t^3-3t),k(t)=f(t)-g(t)$,đồng nhất hệ số $k(t)=0$ suy ra $a=3,b=-9,c=0,d=6$ nên $a^2+b^2+c^2+d^2=126$
Ví dụ 7: Cho hàm số $y=|x^4+ax^3+bx^2+cx+d|$,giá trị lớn nhất của $y$ trên đoạn $[-1;3]$ là $M$,khi $M$ đạt min tính $ac+bd$.
Xét $f(t)=(2t+1)^4+a(2t+1)^3+b(2t+1)^2+c(2t+1)+d,g(t)=M(8t^4-8t^2+1),k(t)=f(t)-g(t)$,đồng nhất hệ số $k(t)=0$ ta có $M=2,a=-4,b=2,c=4,d=-1$ suy ra $ac+bd=-18$.
Ví dụ 8: Cho hàm số $y=|x^3+ax^2+bx+c|$, giá trị lớn nhất của $y$ trên đoạn $[-1;3]$ là $M$, khi $M$ đạt min,tính $ab+bc+ca$.
Xét $f(t)=(2t+1)^3+a(2t+1)^2+b(2t+1)+c,g(t)=M(4t^3-3t),k(t)=f(t)-g(t)$,đồng nhất hệ số $k(t)=0$ ta có $a=-3,b=0,c=2,M=2$ suy ra $ab+bc+ca=-6$
Hy vọng là qua 8 ví dụ đã minh họa cho các bạn hiểu về cách làm dạng bài này,cảm ơn các bạn đã đón đọc,một số ví dụ là mình trích từ khóa pro X max trên vted của thầy Đặng Thành Nam,học toán vted là best rồi.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vta00: 18-04-2018 - 15:54
