Chủ đề này có 4 trả lời

[supernatural1]

Cho tam giác ABC, đường phân giác Ax. Trên Ax lấy hai điểm E và F sao cho góc ABE=góc CBF. CMR: góc ACE=góc BCF

[Minhcamgia]

Gọi $H$ là giao của $Ax$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCF$. 

Ta có $\angle AHC = \angle FHC = \angle FBC = \angle ABE$

$\angle BAF  = \angle HAC \Rightarrow \Delta ABE \sim \Delta AHC (g.g) \Rightarrow \frac{AB}{AE} = \frac{AH}{AC} \Rightarrow \frac{AE}{AC} = \frac{AB}{AH}$ mà $\angle EAC  = \angle HAB \Rightarrow \Delta EAC \sim \Delta BAH (c.g.c) \Rightarrow \angle ACE = \angle AHB = \angle FHB = \angle FCB \Rightarrow \angle ACE = \angle BCF \Rightarrow dpcm$.

Hình gửi kèm

• 

[supernatural1]

Có ai có cách không dùng đường tròn không mình mới lớp 8

[Minhcamgia]

Có ai có cách không dùng đường tròn không mình mới lớp 8

Cách khác: 

Xét bài toán phụ sau: Cho $\Delta ABC, D, E \in BC$ sao cho $\angle BAD = \angle CAE$. Chứng minh rằng $\frac{BD.BE}{CE.CD} = \frac{AB^2}{AC^2}$.

Giải: Gọi $J,F$ là hình chiếu của $D$ trên $AB,AC$, $G,H$ là hình chiếu của  $E$ trên $AB,AC$.

Có $\Delta ADJ \sim \Delta AEH (g.g) \Rightarrow \frac{DJ}{EH} = \frac{AD}{AE}$. 

$\Delta ADF \sim \Delta AEG (g.g) \Rightarrow \frac{DF}{EG}= \frac{AD}{AE}$

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACE}} = \frac{AB.DJ}{AC.EH} = \frac{BD}{CE} ; \frac{S_{ADC}}{S_{ABE}} =\frac{AC.DF}{AB.EG} = \frac{CD}{BE}$

$\Rightarrow \frac{BD.BE}{CD.CE} = \frac{AB.DJ.AB.EG}{AC.EH.AC.BF} = \frac{AB^2}{AC^2}. \frac{EG}{DF}.\frac{DJ}{EH} = \frac{AB^2}{AC^2}. \frac{AE}{AD}. \frac{AD}{AE} = \frac{AB^2}{AC^2} \Rightarrow dpcm$.  

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 19-04-2018 - 16:55

[Minhcamgia]

Gọi $D$ là giao của phân giác $\angle BAC$ và $BC$.

Áp dụng bài toán phụ, ta có:

$\frac{AE.AF}{DE.DF} = \frac{AB^2}{BD^2} = \frac{AC^2}{CD^2}$ (theo tính chất tia phân giác).

Gọi $E'$ là điểm thuộc cạnh $AD$ sao cho $\angle ACE' = \angle BCF$, đến đây lại áp dụng bài toán phụ, ta có: $\frac{AE'.AF}{BE'.BF} = \frac{AC^2}{CD^2} \Rightarrow \frac{AE'.AF}{BE'.BF} = \frac{AE.AF}{BE.BF} \Rightarrow \frac{AE'}{BE'} = \frac{AE}{BE} \Rightarrow \frac{AE'}{BE'} +1 = \frac{AE}{BE}+1 \Rightarrow \frac{AD}{AE'} = \frac{AD}{AE} \Rightarrow AE = AE' \Rightarrow E \equiv E' \Rightarrow \angle ACE = \angle ACE' = \angle BCF$ (dpcm).

Hình gửi kèm

•