Chủ đề này có 2 trả lời

[melodias2002]

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng $\sum \frac{ab}{\sqrt{(a^2+bc)(b^2+ca)}} \leq \frac{3}{2}$

[hoangkimca2k2]

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng $\sum \frac{ab}{\sqrt{(a^2+bc)(b^2+ca)}} \leq \frac{3}{2}$

Theo BDT $Bunhiacopxki$ ta có: $\sum \frac{ab}{\sqrt{(a^2+bc)(b^2+ca)}} \leq \sum \frac{ab}{ab+c\sqrt{ab}}=\sum \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}+c}$

Vì BDT đồng bậc nên ta chuẩn hóa $a+b+c=1$. Đến đây đưa về bài toán quen thuộc rồi. (phần còn lại EZ)
 

[melodias2002]

Theo BDT $Bunhiacopxki$ ta có: $\sum \frac{ab}{\sqrt{(a^2+bc)(b^2+ca)}} \leq \sum \frac{ab}{ab+c\sqrt{ab}}=\sum \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}+c}$

Vì BDT đồng bậc nên ta chuẩn hóa $a+b+c=1$. Đến đây đưa về bài toán quen thuộc rồi. (phần còn lại EZ)
 

Bạn full nốt mình xem với :v 

P/s: Mình có nghĩ ra cách khác:

Ta có $(a^2+bc)(b^2+ca)=a^2b^2+c(a^3+b^3+abc)\geq a^2b^2+c[ab(a+b)+abc]=ab(a+c)(b+c)$

Suy ra $\sum \frac{ab}{\sqrt{(a^2+bc)(b^2+ca)}} \leq \sum \sqrt{ \frac{ab}{(a+c)(b+c)} } \leq \sum \frac{1}{2} (\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}) = \frac{1}{2} (\sum \frac{a+c}{a+c}) = \frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi melodias2002: 20-04-2018 - 23:26