cho (O,R) và dây cung BC =$R\sqrt{3}$ cố định . điểm A di đọng trên cung BC sao cho tam giác ABC nhọn . gọi E là điểm đối xứng vs B qua AC và F là điểm đối xứng vs C qua AB. các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE và tam giác ACF cắt nhau tại K ( K ko trùng A). gọi H là giao điểm của BE và CF
a, cm KA là phân giác trong góc BKC và tứ giác BHCK nội tiếp
b, xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK max , tính S max đó theo R
c, cm AK luôn đi qua 1điểm cố định
thanks m.n
a)
có $\widehat{BAC} =60^\circ$
$\widehat{BKA} =\widehat{BEA} =\widehat{ABE} =30^\circ$
$\widehat{CKA} =\widehat{CFA} =\widehat{ACF} =30^\circ$
$\Rightarrow KA$ là phân giác $\widehat{BKC}$
$\widehat{BHC} =180^\circ -\widehat{HBC} -\widehat{HCB} =180^\circ -(90^\circ -\widehat{ACB}) -(90^\circ -\widehat{ABC}) =120^\circ =180^\circ -\widehat{BKC}$
$\Rightarrow BHCK$ nội tiếp
b)
có đường tròn ngoại tiếp $BKC$ là đường tròn cố định và đi qua $O$
lần lượt hạ $HD, KG \perp BC$ tại $D, G$
$S_{BHC} $ max khi $HD$ max khi $H$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$ khi $D$ là trung điểm $BC$
$S_{BKC}$ max khi $KG$ max khi $K$ là điểm chính giữa cung lớn $BC$ khi $G$ là trung điểm $BC$
$D$ là trung điểm $BC$
$\Leftrightarrow ABC$ đều
$\Rightarrow ABF, ACE$ đều
$\Rightarrow \triangle ABE, \triangle ACF$ đối xứng nhau qua trung trực $BC$
$\Rightarrow K$ thuộc trung trực $BC$
$\Rightarrow G$ là trung điểm $BC$
vậy $S_{BHCK} =S_{BHC} +S_{BKC}$ max khi $D$ là trung điểm $BC$$\Rightarrow ABC$ đều
khi đó $HK =2R =HD +KG$
$\Rightarrow S_{max} =R^2\sqrt3$
c)
$KA$ là phân giác góc nội tiếp $\widehat{BKC}$
nên $KA$ đi qua điểm chính giữa cung nhỏ $BC$
$\Rightarrow KA$ đi qua điểm $O$ cố định