cho (O) có dây cung CD cố định . gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ CD . đường kính MN của (O) cắt dây CD tại I . lấy điểm E bất kì trên cung lớn CD( E khác C ,D,N). ME giao CD tại K. NE giao CD tại P
cm a, tứ giác IKEN nội tiếp
b , cm EI.MN =NK. ME
c, NK giao MP tại Q . cm IK là phân giác của góc EIQ
d, từ C vẽ đường thẳng vuông góc vs EN cắt DE tại H.
cmr khi E di động trên cung lớn DC (E khác D,C,N) thì H thuộc đường tròn cố định
cm m.n
a)
$\widehat{KEN} +\widehat{KIN} =90^\circ +90^\circ =180^\circ$
$\Rightarrow IKEN$ nội tiếp
b)
(a)$\Rightarrow\widehat{KNM} =\widehat{IEM}$
$\Rightarrow\triangle KNM\sim\triangle IEM$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{MN}{KN} =\frac{ME}{IE}$
$\Rightarrow MN .IE =KN .ME$
c)
$\triangle MNP$ có $K$ là trực tâm
$\Rightarrow NQ\perp MP$
$\widehat{KIQ} =\widehat{EMP} =\widehat{QNP} =\widehat{KIE}$
$\Rightarrow KI$ là phân giác $\widehat{QIE}$
d)
$CH$ cắt $NP$ tại $A$
$\widehat{EHC} =\widehat{DEM}$
$\widehat{ECH} =\widehat{CEM}$
mà $\widehat{DEM} =\widehat{CEM}$ (do $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $CD$)
$\Rightarrow\widehat{EHC} =\widehat{ECH}$
$\Rightarrow\triangle EHC$ cân tại $E$
$\Rightarrow A$ là trung điểm $CH$
$\Rightarrow AN$ là trung trực $HC$
$\Rightarrow NH =NC$ không đổi
vậy $H$ di chuyển trên đường tròn tâm $N$ bán kính $NC$