Chủ đề này có 2 trả lời

[Silverbullet069]

Bài 1 : Tìm nghiệm tự nhiên của pt : x + y + z = 2017 với x > y > z

Bài 2 : Cho tập A = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
Hỏi lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau thuộc A mà không có 2 chữ số chẵn đứng cạnh nhau?

[Puisunjouronestledumonde]

Bài 1 : Tìm nghiệm tự nhiên của pt : x + y + z = 2017 với x > y > z

 

Trước hết, ta giải bài toán nhò:

Tìm số nghiệm nguyên không âm của pt $x+y=n$ với $x\geq y$

Gọi $r$ là số nghiệm cần tìm. Nếu không có điều kiện gì thì pt trình có $C_{n+1}^{1}=n+1$ nghiệm. Do đó ta có:

$r=\frac{n+1}{2}$ khi $n$ lẻ

$r=\frac{n}{2}+1$ khi $n$ chẵn

$\Rightarrow$ trong cả 2 trường hợp: $r=\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor+1$      $(*)$

Trở lại bài toán, nếu không có điều kiện gì thì số nghiệm là $C_{2019}^{2}$. Gọi $r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}$ là số nghiệm của pt  với các điều kiện lần lượt là $x> y> z; x=y> z; x> y=z $ và $ x= y=z$ thì ta có:

$C_{2019}^{2}=6r_{1}+3r_{2}+3r_{3}+r_{4}$

trong đó các hệ số của $r_{i}$ là số cách sắp xếp thứ tự $x,y,z$ và nhận thấy $r_{4}=0$  (vì $2017$ không chia hết cho $3$). Ta đi tìm $r_{1}$. Ta có:

$C_{2019}^{2}=6r_{1}+3r_{2}+3r_{3}$    $(1)$

Theo $(*)$ ta có:

$r_{2}+r_{3}=\left \lfloor \frac{2017}{2} \right \rfloor+1=1009$

 $(1)$ $\Rightarrow C_{2019}^{2}=6r_{1}+3.1009 \Rightarrow r_{1}=\frac{2019.1009-3.1009}{6}=339024$

 

 

[Nobodyv3]

Bài 1 : Tìm nghiệm tự nhiên của pt : x + y + z = 2017 với x > y > z

Ta có :
$\begin {cases}
x+y+z=2017\\
x>y>z\geq 0 &&(1)
\end {cases}$
Đặt :
$z=q_1,\,q_1\geq 0$
$y=q_1+1+q_2,\,q_2\geq 0$
$x=q_1+1+q_2+1+q_3,\,q_3\geq 0$ thì
$(1)\Leftrightarrow \begin {cases}
3q_1+2q_2+q_3=2014\\
q_1\geq 0,\,q_2\geq 0,\,q_3\geq 0 &&(2)
\end {cases}$
Ta có hàm sinh :
$$\begin {align*}
f(q)&=\frac{1}{(1-q)(1-q^2)(1-q^3)}\\
&=\frac{(1+q+q^2+q^3+q^4+q^5)(1+q^2+q^4)(1+q^3)}{(1-q^6)^3}\\
\Rightarrow [q^{2014}]f(q)&= [q^{2014}]\left (4q^4+2q^{10}\right )\sum_{n\geq 0}\binom{n+2}{2}q^{6n}\\
&=4\binom{335+2}{2}+2\binom{334+2}{2}\\
&=226464+112560=\color{blue} 339024
\end{align*}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 19-07-2023 - 20:18