Chủ đề này có 2 trả lời

[PugMath]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=6$ 

Tìm Min : 

P=$\frac{ab+bc+ac}{4}+\frac{6}{a+b+c-2}-\frac{16c}{c^2+12}$

nguồn : https://diendan.hocm...tim-min.673179/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PugMath: 22-04-2018 - 12:39

[tr2512]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=6$ 

Tìm Min : 

P=$\frac{ab+bc+ac}{4}+\frac{6}{a+b+c-2}-\frac{16c}{c^2+12}$

nguồn : https://diendan.hocm...tim-min.673179/

E xin đưa ra một cách, nhưng không hay (dùng đạo hàm nhiều và có những cái hàm rất phức tạp)

$ P=\frac{ab+bc+ca}{4}+\frac{6}{a+b+c-2}-\frac{16c}{c^2+12} $

Ta xét khai triển: $ (a+b-c)^2 \ge 0 $

$ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc \ge 0 $

$ \Leftrightarrow ab \ge c(a+b)-3 $

Áp dụng kết quả này, ta có:

$ P \ge \frac{2c(a+b)-3}{4}+\frac{6}{a+b+c-2}-\frac{16c}{c^2+12} $

Xét hàm $ f(a+b)=\frac{2c(a+b)-3}{4}+\frac{6}{a+b+c-2} $

$ \Rightarrow f'(a+b)=\frac{c}{2}-\frac{6}{(a+b+c-2)^2} $

Ta sẽ chứng minh: $ f'(a+b) \le 0 $

$ \Leftrightarrow \frac{c}{2} \le \frac{6}{(a+b+c-2)^2} $

$ \Leftrightarrow (a+b+c-2)^2.c \le 12 $

Bất đẳng thức này có thể có nhiều cách làm, nhưng mình sẽ dùng đạo hàm  

Áp dụng bất đẳng thức C-S:$ a+b \le \sqrt{2(a^2+b^2)} = \sqrt{2(6-c^2)} $

$ \Rightarrow (a+b+c-2)^2.c \le (\sqrt{2(6-c^2)}+c-2)^2.c $

Bằng đạo hàm trên khoảng $ 0 < c < \sqrt{6} $ ta thu được:

$ (\sqrt{2(6-c^2)}+c-2)^2.c \le 8.32328.. < 12 $

Vậy hàm $ f(a+b) $ nghịch biến hay

$ f(a+b) \ge f(\sqrt{2(6-c^2)}) $

$ \Rightarrow P \ge \frac{6}{\sqrt{2(6-c^2)}+c-2}+\frac{2c\sqrt{2(6-c^2)}-3}{4}-\frac{16c}{c^2+12} $

Khảo sát hàm này trên đoạn $ 0 < c < \sqrt{6} $ ta thu được

$ P \ge \frac{9}{4}  $ khi c=2

Vậy $Pmin = \frac{9}{4} $ khi a=b=1; c=2

[PugMath]

 

E xin đưa ra một cách, nhưng không hay (dùng đạo hàm nhiều và có những cái hàm rất phức tạp)

$ P=\frac{ab+bc+ca}{4}+\frac{6}{a+b+c-2}-\frac{16c}{c^2+12} $

Ta xét khai triển: $ (a+b-c)^2 \ge 0 $

$ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc \ge 0 $

$ \Leftrightarrow ab \ge c(a+b)-3 $

Áp dụng kết quả này, ta có:

$ P \ge \frac{2c(a+b)-3}{4}+\frac{6}{a+b+c-2}-\frac{16c}{c^2+12} $

Xét hàm $ f(a+b)=\frac{2c(a+b)-3}{4}+\frac{6}{a+b+c-2} $

$ \Rightarrow f'(a+b)=\frac{c}{2}-\frac{6}{(a+b+c-2)^2} $

Ta sẽ chứng minh: $ f'(a+b) \le 0 $

$ \Leftrightarrow \frac{c}{2} \le \frac{6}{(a+b+c-2)^2} $

$ \Leftrightarrow (a+b+c-2)^2.c \le 12 $

Bất đẳng thức này có thể có nhiều cách làm, nhưng mình sẽ dùng đạo hàm

Áp dụng bất đẳng thức C-S:$ a+b \le \sqrt{2(a^2+b^2)} = \sqrt{2(6-c^2)} $

$ \Rightarrow (a+b+c-2)^2.c \le (\sqrt{2(6-c^2)}+c-2)^2.c $

Bằng đạo hàm trên khoảng $ 0 < c < \sqrt{6} $ ta thu được:

$ (\sqrt{2(6-c^2)}+c-2)^2.c \le 8.32328.. < 12 $

Vậy hàm $ f(a+b) $ nghịch biến hay

$ f(a+b) \ge f(\sqrt{2(6-c^2)}) $

$ \Rightarrow P \ge \frac{6}{\sqrt{2(6-c^2)}+c-2}+\frac{2c\sqrt{2(6-c^2)}-3}{4}-\frac{16c}{c^2+12} $

Khảo sát hàm này trên đoạn $ 0 < c < \sqrt{6} $ ta thu được

$ P \ge \frac{9}{4}  $ khi c=2

Vậy $Pmin = \frac{9}{4} $ khi a=b=1; c=2

 

Thật ko thể tin đc quá khủng