Chủ đề này có 3 trả lời

[mduc123]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(0)=0,f(-1)=-1,f(x)f(\frac{1}{x})=1$

[Korkot]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(0)=0,f(-1)=-1,f(x)f(\frac{1}{x})=1$

VÌ f(0)=0 nên đa thức không có hệ số tự do

Vì $f(x)f(\frac{1}{x})=x.\frac{1}{x}=1$ nên f(x) là đa thức bậc 1 có dạng ax (đây là tính chất đa số các bài xác định đa thức ở cấp THCS áp dụng)

Vì -a=-1 nên a=1 (f(-1)=-1) => f(x)=x

[chanhquocnghiem]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(0)=0,f(-1)=-1,f(x)f(\frac{1}{x})=1$

Ta có các trường hợp sau :

1) $f(x)$ là hằng số $C$ nếu $x$ khác $0$ và $-1$ :

    Khi đó với mọi $x$ khác $0$ và $-1$, ta có $f(x).f\left ( \frac{1}{x} \right )=C^2=1\Rightarrow C=\pm 1$

    + Nếu $C=1$, ta có hàm $f(x)=\left\{\begin{matrix}0\ neu\ x=0\\-1\ neu\ x=-1\\1\ neu\ x\neq 0\ va\ x\neq -1 \end{matrix}\right.$ (1)

    + Nếu $C=-1$, ta có hàm $f(x)=\left\{\begin{matrix}0\ neu\ x=0\\-1\ neu\ x\neq 0 \end{matrix}\right.$ (2)

2) $f(x)$ không phải là hằng số khi $x$ khác $0$ và $-1$ :

    Khi đó với mọi $x$ khác $0$ và $-1$, ta có :

    $f(x).f\left ( \frac{1}{x} \right )=1=x^k.\frac{1}{x^k}=x^k.\left ( \frac{1}{x} \right )^k=x^{-k}.\left ( \frac{1}{x} \right )^{-k}$ ($k\in\mathbb{Z}$)

    $\Rightarrow f(x)=x^k$ ($k\in\mathbb{Z}$)

    + Nếu $k$ chẵn ($k=2m$), ta có các hàm dạng

       $f(x)=\left\{\begin{matrix}0\ neu\ x=0\\-1\ neu\ x=-1\\x^{2m}\ neu\ x\neq 0\ va\ x\neq -1\ (m\in\mathbb{Z})\end{matrix}\right.$ (3)

    + Nếu $k$ lẻ ($k=2m+1$), ta có các hàm dạng

       $f(x)=\left\{\begin{matrix}0\ neu\ x=0\\x^{2m+1}\ neu\ x\neq 0\ (m\in\mathbb{Z})\end{matrix}\right.$ (4)

 

Chú ý rằng hàm (1) cũng thuộc các hàm có dạng (3) (khi $m=0$). Như vậy các hàm thỏa mãn điều kiện đề bài là hàm (2) và các hàm có dạng (3) và (4) đã nêu ở trên.

[mduc123]

VÌ f(0)=0 nên đa thức không có hệ số tự do

Vì $f(x)f(\frac{1}{x})=x.\frac{1}{x}=1$ nên f(x) là đa thức bậc 1 có dạng ax (đây là tính chất đa số các bài xác định đa thức ở cấp THCS áp dụng)

Vì -a=-1 nên a=1 (f(-1)=-1) => f(x)=x

bạn à, đây là hàm số chứ không phải đa thức nên nó có thể là hàm f(x)=sin x, f(x)= cos x nên không biết chắc được