Chủ đề này có 2 trả lời

[Tea Coffee]

Cho $(O)$ cố định và dây $AB$ cố định không đi qua $O$. $C$ là điểm thay đổi trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Đường tròn đường kính $AB$ cắt $AC,BC$ ở $D,E$. $BD,AE$ cắt $(O)$ tại $P,Q$.Tiếp tuyến tại $A,B$ của (O) cắt $DE$ tại $M,N$. CM $H$ là giao $MP,NQ$ thuộc một đường cố định.

[Korkot]

Cho $(O)$ cố định và dây $AB$ cố định không đi qua $O$. $C$ là điểm thay đổi trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Đường tròn đường kính $AB$ cắt $AC,BC$ ở $D,E$. $BD,AE$ cắt $(O)$ tại $P,Q$.Tiếp tuyến tại $A,B$ của (O) cắt $DE$ tại $M,N$. CM $H$ là giao $MP,NQ$ thuộc một đường cố định.

Mình chỉ biết H nằm trên (O) thôi. CM thì mình đang thử gọi H' là giao NQ với (O)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 25-04-2018 - 06:37

[HelpMeImDying]

Gọi I là trung điểm BC, K là trực tâm $\Delta ABC$, IK giao (O) tại H'.

Kẻ đường kính CC'. Dễ có HBC'A là hình bình hành$\Rightarrow C',I,K,H'$ thẳng hàng

Mặt khác, dễ chứng minh P,Q là điểm đối xứng với K qua D,E.

Có: $KH'.KC'=KA.KQ\Rightarrow KI.KH'=KA.KE\Rightarrow AH'EI$ là tgnt

Lại có: $\widehat{DEI}= 90^{\circ}-\frac{1}{2}\widehat{DIE}=90^{\circ}-\widehat{CBD}=\widehat{ACB}=180^{\circ}-\widehat{MAB}\Rightarrow MAIE$ là tgnt.

$\Rightarrow H',M,A,I,E$ cùng thuộc 1 đường tròn.

$\Rightarrow \widehat{MH'I}= 180^{\circ}-\widehat{MAB}=\widehat{ACB}$

Lại có:$\widehat{PH'C'}=\widehat{PCC'}$

Mà $\widehat{PCA}=\widehat{PBA}=\widehat{BAC'}=\widehat{BCC'}\Rightarrow \widehat{PCC'}=\widehat{ACB}\Rightarrow \widehat{PH'C'}=\widehat{MH'C'}$

$\Rightarrow M,P,H'$ thảng hàng

Tương tự: $N,Q,H'$ thẳng hàng

Suy ra đpcm

Hình gửi kèm

•