Chủ đề này có 192 trả lời

[Khoa Linh]

 

50) Giải pt: $\sqrt{1-x^2}=(\frac{2}{3}-\sqrt{x})^2$

Bài này khá hay và khó.

Lời giải: 

Điều kiện $0\leq x\leq 1$.

Ta đặt $\sqrt{x}=a;\frac{2}{3}-\sqrt{x}=b$ trong đó $a\geq 0,b\leq \frac{2}{3}$.

Ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} a+b=\dfrac{2}{3} & \\ \sqrt{1-a^4}=b^2 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=\dfrac{2}{3} & \\ a^4+b^4=1 & \end{matrix}\right.$

Giải hệ đối xứng này ta tìm được $a,b$ rồi tìm $x$. Nghiệm này khá lẻ là $x=\left (\frac{\sqrt{-12+2\sqrt{194}}+2}{6} \right )^2$

p/s: Bài viết thứ 400   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 06-05-2018 - 22:50

[thanhdatqv2003]

Bài 81 : 

Giải hệ pt:  $\begin{Bmatrix} xy+y^2+x=7y & \\ \frac{x^2}{y}+x=12& \end{Bmatrix}$

P/s: Bài này khá dễ     

[minh1437]

Bài 81 : 

Giải hệ pt:  $\begin{Bmatrix} xy+y^2+x=7y & \\ \frac{x^2}{y}+x=12& \end{Bmatrix}$

P/s: Bài này khá dễ     

có pt(2) $x^{2}+xy=12y \Leftrightarrow x(x+y)=12y$

có pt(1)$ \Leftrightarrow xy+y^{2}+x=7y \Leftrightarrow (x+y)(y+1)=8y \Leftrightarrow \frac{3}{2}(x+y)(y+1)=12y$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 06-05-2018 - 12:23
Gõ $\LaTeX$

[conankun]

51) Giải pt: $\frac{(x-a)(x-b)}{c(c-a)(c-b)}+\frac{(x-c)(x-b)}{a(a-c)(a-b)}+\frac{(x-a)(x-c)}{b(b-a)(b-c)}=\frac{1}{x}$

 

(Trong đó a,b,c khác nhau và khác 0)

 

$\boxed{\text{Bài 51}}$ 

Đặt $P(x)=\frac{x(x-a)(x-b)}{c(c-a)(c-b)}+\frac{x(x-c)(x-b)}{a(a-c)(a-b)}+\frac{x(x-a)(x-c)}{b(b-a)(b-c)}-1$

Ta có: $P(a)=P(b)=P(c)=0$ hay $a,b,c$ là các nghiệm của phương trình.

Mà $P(x)$ là phương trình bậc 3 suy ra: $P(x)=k(x-a)(x-b)(x-c)$

Phương trình chỉ có nghiệm $x=a, x=b, x=c $

 

p/s: Có bạn nào thấy quen ko

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 06-05-2018 - 15:55

[conankun]

$\boxed{\text{Bài 82}}$ $x^5-15x^3+45x-27=0$

 

$\boxed{\text{Bài 83}}$ $\frac{11}{x^2}-\frac{25}{(x+5)^2}=1$

 

$\boxed{\text{Bài 84}}$ $\sqrt[4]{(x-2)(4-x)}+\sqrt[4]{x-2}+\sqrt[4]{4-x}+6x\sqrt{3x}=x^3+30$

 

$\boxed{\text{Bài 85}}$ $\left\{\begin{matrix} x^3-xy^2+2000y=0\\ y^3-yx^2-500x=0 \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 12-05-2018 - 12:51

[conankun]

$\boxed{\text{Bài 86}}$ $\left\{\begin{matrix} 12x^2-48x+64=y^3\\ 12y^2-48y+64=z^3\\ 12z^2-48z+64=x^3 \end{matrix}\right.$

 

$\boxed{\text{Bài 87}}$ $\left\{\begin{matrix} x^{19}+y^5=1890z+z^{2001}\\ y^{19}+z^5=1890z+x^{2001}\\ z^{19}+x^5=1890z+y^{2001} \end{matrix}\right.$

 

$\boxed{\text{Bài 88}}$ $\left\{\begin{matrix} 2x+1=y^3+y^2+y\\ 2y+1=z^3+z^2+z\\ 2z+1=x^3+x^2+x \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 06-05-2018 - 23:33

[Sudden123]

Bài toán số 11: Giải phương trình: $\sqrt{3x-1}+\sqrt{x^2+17x+1}=x^2+3$
Bài toán số 12: Giải hệ: $\left\{\begin{matrix} x^3-3xy^2-x+1=x^2-2xy-y^2\\ y^3-3x^2y+y-1=y^2-2xy-x^2 \end{matrix}\right.$

p/s: Trích đề thi HSG tỉnh Thái Bình./.

Câu 12:
$a=x^3-3xy^2-x+1-x^2+2xy+y^2$
$b=y^3-3x^2y+y-1-y^2+2xy+x^2$
$b(x-1)-a=0$ suy ra $$y(-xy^2+y^2+3x^3-5x^2+3x+1-2xy)=0$$
....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sudden123: 06-05-2018 - 17:11

[trambau]

$\boxed{\text{Bài 86}}$ $\left\{\begin{matrix} 12x^2-48x+64=y^3\\ 12y^2-48y+64=z^3\\ 12z^2-48z+64=x^3 \end{matrix}\right.$

 

$\boxed{\text{Bài 87}}$ $\left\{\begin{matrix} x^{19}+y^5=1890z+z^{2001}\\ y^{19}+z^5=1890z+x^{2001}\\ z^{19}+x^5=1890z+y^{2001} \end{matrix}\right.$

 

$\boxed{\text{Bài 88}}$ $\left\{\begin{matrix} 2x+1=y^3+y^2+y\\ 2y+1=z^3+z^2+z\\ 2z+1=x^3+x^2+x \end{matrix}\right.$

Góp ý, sau ra đề nên chọn lọc, không phải cứ bài khó là hay, những bài như thế này dùng tới chương trình THPT rồi, mất hay cho các em thi vào 10

Xin phép giải bài đầu

$\boxed{\text{Bài 86}}$

$y^3=12x^2-48x+64=12(x-2)^2+16\Rightarrow y>2$ tương tự $x,z>2$

xét hàm

$f(t)=12t^2-48t+64 (t>2), f'(t)=24t-48>0 \forall t>2$

Vậy hàm số đồng biến trên $(2;\infty )$

Không mất tính tổng quát giả sử x=max{x,y,z}

Có $x\geq y \Rightarrow 12x^2-48x+64\geq 12y^2-48y+64\Rightarrow y^3\geq z^3\Leftrightarrow y\geq z\Rightarrow 12y^2-48y+64\geq 12z^2-48z+64\Rightarrow z\geq x\Rightarrow x=y=z$

Từ đó tính được $(x;y;z)=(4;4;4$

[dragon ball super]

$\boxed{\text{Bài 86}}$ $\left\{\begin{matrix} 12x^2-48x+64=y^3\\ 12y^2-48y+64=z^3\\ 12z^2-48z+64=x^3 \end{matrix}\right.$

 

$\boxed{\text{Bài 87}}$ $\left\{\begin{matrix} x^{19}+y^5=1890z+z^{2001}\\ y^{19}+z^5=1890z+x^{2001}\\ z^{19}+x^5=1890z+y^{2001} \end{matrix}\right.$

 

$\boxed{\text{Bài 88}}$ $\left\{\begin{matrix} 2x+1=y^3+y^2+y\\ 2y+1=z^3+z^2+z\\ 2z+1=x^3+x^2+x \end{matrix}\right.$

 

Bài 88:

KMTTQ ,giả sử:

$x\geq y\geq z$

Ta có:

$x^{3}+x^{2}+x\geq y^{3}+y^{2}+y\geq z^{3}+z^{2}+z$

$\Rightarrow$ $2z\geq 2x\geq 2y\Rightarrow x=y=z$

Đến đây dễ rồi

Chắc bài 47 cũng làm theo cách đấy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dragon ball super: 06-05-2018 - 23:06

[conankun]

Góp ý, sau ra đề nên chọn lọc, không phải cứ bài khó là hay, những bài như thế này dùng tới chương trình THPT rồi, mất hay cho các em thi vào 10

Xin phép giải bài đầu

$\boxed{\text{Bài 86}}$

$y^3=12x^2-48x+64=12(x-2)^2+16\Rightarrow y>2$ tương tự $x,z>2$

xét hàm

$f(t)=12t^2-48t+64 (t>2), f'(t)=24t-48>0 \forall t>2$

Vậy hàm số đồng biến trên $(2;\infty )$

Không mất tính tổng quát giả sử x=max{x,y,z}

Có $x\geq y \Rightarrow 12x^2-48x+64\geq 12y^2-48y+64\Rightarrow y^3\geq z^3\Leftrightarrow y\geq z\Rightarrow 12y^2-48y+64\geq 12z^2-48z+64\Rightarrow z\geq x\Rightarrow x=y=z$

Từ đó tính được $(x;y;z)=(4;4;4$

Một cách giải khác không cần kiến thức của THPT

Giả sử x= max{x,y,z}. Ta có: $12x^2-48x+64=12(x^2-4x+4)+16\geq 16\Rightarrow y^3\geq 16\Rightarrow y>2$

Tương tự $x>2$ , $z>2$

Trừ (1) cho (3) ta có: $y^3-x^3=12(x^2-z^2)-48(x-z)\Leftrightarrow y^3-x^3=12(x-z)(x+z-4)$

$VT\leq 0, VP\geq 0$ Dấu "=" xảy ra khi x=y=z

Thay vào ta có: $x=y=z=4$

[dragon ball super]

$\boxed{\text{Bài 82}}$ $x^5-15x^3+45x-27=0$

 

$\boxed{\text{Bài 83}}$ $\frac{11}{x^2}-\frac{25}{(x+5)^2}=1$

 

$\boxed{\text{Bài 84}}$ $\sqrt[4]{(x-2)(4-x)}+\sqrt[4]{x-2}+\sqrt[4]{4-x}+6x\sqrt{3x}=x^3+30$

 

$\boxed{\text{Bài 85}}$ $\left\{\begin{matrix} x^3-xy^2+2000y=0\\ y^3-yx^2-500x=0 \end{matrix}\right.$

 

Xin giải $\boxed{\text{Bài 85}}$

$\left\{\begin{matrix} x^3-xy^2+2000y=0\\ y^3-yx^2-500x=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x^3-xy^2=-2000y\\ y^3-yx^2=500x \end{matrix}\right.$

Đặt x=ty

HPT$\Leftrightarrow$

$\left\{\begin{matrix} t^3y^3-ty^3=-2000y\\ y^3-y^3t^2=500ty \end{matrix}\right.$

Chia 2 pt cho nhau rồi tính t

Thế là xong

P/S: cách hơi  dài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dragon ball super: 06-05-2018 - 23:07

[Khoa Linh]

$\boxed{\text{Bài 82}}$ $x^5-15x^3+45x-27=0$

 

Ta có:

$x^5-15x^3+45x-27=0\Leftrightarrow (x+3)(x^4-3x^3-6x^2+18x-9)=0$

Nếu $x^4-3x^3-6x^2+18x-9=0$ ta có:

$x^4-3x^3+\frac{9}{4}x^2=\frac{33}{4}x^2-18x+9$

$\Leftrightarrow \left ( x^2-\frac{3}{2}x+\frac{3}{2} \right )^2=\frac{45}{4}(x-1)^2$

Đến đây xuất hiện bình phương các bạn tự giải tiếp nhé ...

[kangaroo]

$\boxed{\text{Bài 84}}$ $\sqrt[4]{(x-2)(4-x)}+\sqrt[4]{x-2}+\sqrt[4]{4-x}+6x\sqrt{3x}=x^3+30$

 

$\sqrt[4]{(x-2)(4-x)}+\sqrt[4]{x-2}+\sqrt[4]{4-x}=x^3-6\sqrt{3x}+27+3$

$\sqrt[4]{(x-2)(4-x)}+\sqrt[4]{x-2}+\sqrt[4]{4-x}=(x\sqrt{x}-3\sqrt{3})^2+3$

 

Ta có:

- VP $\geq 3$.

- VT dùng 3 lần BĐT AM-GM với 3 bộ số $[x-2,1,1,1],[4-x,1,1,1],[x-2,4-x,1,1]$ chứng minh được VT $\leq 3$.

 

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=3$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kangaroo: 07-05-2018 - 21:16

[hoangvipmessi97]

Một số bài tiếp theo:

Bài số 27: Giải pt: $9x^2-5x=(2-x)\sqrt{3x^2-8x+3}$

Bài số 28: Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} x^3+2y^2-4y+3=0\\ x^2+x^2y^2-2y=0 \end{matrix}\right.$

Bài số 29: Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+2=3x+y\\ x^2+y^2=2 \end{matrix}\right.$

Bài số 30: Giải pt: $13\sqrt{x^2-x^4}+9\sqrt{x^2+x^4} =16$

 

p/s: Mọi người tiếp tục giải nhé!

Cho mình giải thử bài 28 

$\left\{\begin{matrix} x^3+2y^2-4y+3=0 \ (1)\\ x^2+x^2y^2-2y=0 \ (2) \end{matrix}\right. \\ \\ (2) \ x^2+x^2y^2-2y=0 \Leftrightarrow x^2+2x^2y^2 - x^2y^2 -2y=0 \\ \Leftrightarrow x^2(1-y^2) + 2y(y-1)=0 \\ \Leftrightarrow x^2(1-y)(1+y) - 2y(1-y)=0 \\ \Leftrightarrow \left [ x^2(1-y) -2y \right ](1-y)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x^2 = \dfrac{2y}{1-y}\\ y=1 \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangvipmessi97: 08-05-2018 - 09:12

[hoangvipmessi97]

BÀI 69:

Giải phương trình:

$x^{2}+\frac{9x^2}{(x+3)^{2}}=40$

ĐK: $x \neq -3$

Đặt $t = \dfrac{x}{x+3} = 1 - \dfrac{3}{x+3} \\ \Leftrightarrow t -1 = \dfrac{-3}{x+3} \\ \Leftrightarrow 1 - t = \dfrac{3}{x+3} \\ \Leftrightarrow x+3 = \dfrac{3}{1-t} \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{1-t}-3$

Khi đó ta có phương trình: 

$\left ( \dfrac{3}{1-t}-3 \right ) ^2 +9t^2 = 40 \\ \Leftrightarrow \dfrac{9}{(1-t)^2} - \dfrac{18}{1-t} + 9 + 9t^2 - 40 = 0 \\ \Leftrightarrow \dfrac{9}{(1-t)^2} - \dfrac{18}{1-t} + 9t^2 - 31 = 0 \\ \Leftrightarrow \dfrac{9-18(1-t) - 31(1-t)^2 + 9t^2 (1-t)^2}{(1-t)^2}=0 \\ \Leftrightarrow \dfrac{9-18+18t - 31 \left ( 1-2t+t^2 \right ) + 9t^2 \left ( 1-2t+t^2 \right )}{(1-t)^2}=0 \\ \Leftrightarrow 9-18+18t-31+62t-31t^2+9t^2-18t^3+9t^4 = 0 \\ \Leftrightarrow 9t^4 -18t^3 -22t^2 + 80t - 40 = 0$

$\Leftrightarrow \left ( t - \dfrac{2}{3} \right )(......) = 0$ (sơ đồ Horner)
...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangvipmessi97: 08-05-2018 - 09:04

[Unrruly Kid]

ĐK: $x \neq -3$

Đặt $t = \dfrac{x}{x+3} = 1 - \dfrac{3}{x+3} \\ \Leftrightarrow t -1 = \dfrac{-3}{x+3} \\ \Leftrightarrow 1 - t = \dfrac{3}{x+3} \\ \Leftrightarrow x+3 = \dfrac{3}{1-t} \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{1-t}-3$

Khi đó ta có phương trình: 

$\left ( \dfrac{3}{1-t}-3 \right ) ^2 +9t^2 = 40 \\ \Leftrightarrow \dfrac{9}{(1-t)^2} - \dfrac{18}{1-t} + 9 + 9t^2 - 40 = 0 \\ \Leftrightarrow \dfrac{9}{(1-t)^2} - \dfrac{18}{1-t} + 9t^2 - 31 = 0 \\ \Leftrightarrow \dfrac{9-18(1-t) - 31(1-t)^2 + 9t^2 (1-t)^2}{(1-t)^2}=0 \\ \Leftrightarrow \dfrac{9-18+18t - 31 \left ( 1-2t+t^2 \right ) + 9t^2 \left ( 1-2t+t^2 \right )}{(1-t)^2}=0 \\ \Leftrightarrow 9-18+18t-31+62t-31t^2+9t^2-18t^3+9t^4 = 0 \\ \Leftrightarrow 9t^4 -18t^3 -22t^2 + 80t - 40 = 0$

$\Leftrightarrow \left ( t - \dfrac{2}{3} \right )(......) = 0$ (sơ đồ Horner)
...

Quá dài dòng

$x^{2}+\frac{9x^{2}}{(x+3)^{2}}=40$

$(x-\frac{3x}{x+3})^{2}+\frac{2x.3x}{x+3}-40=0$

$(\frac{x^{2}}{x+3})^{2}+\frac{6x^{2}}{x+3}-40=0$

Đặt $t=\frac{x^{2}}{x+3}$, tới đây quá dễ

[Unrruly Kid]

$\sqrt[4]{(x-2)(4-x)}+\sqrt[4]{x-2}+\sqrt[4]{4-x}=x^3-6\sqrt{3x}+27+3$

$\sqrt[4]{(x-2)(4-x)}+\sqrt[4]{x-2}+\sqrt[4]{4-x}=(x\sqrt{x}-3\sqrt{3})^2+3$

 

Ta có:

- VP $\geq 3$.

- VT dùng 3 lần BĐT AM-GM với 3 bộ số $[x-2,1,1,1],[4-x,1,1,1],[x-2,4-x,1,1]$ chứng minh được VT $\leq 3$.

 

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=3$. 

Tại sao không chứng minh VT <= VP luôn cho nhanh :3

[kangaroo]

$\boxed{\text{Bài 83}}$ $\frac{11}{x^2}-\frac{25}{(x+5)^2}=1$

 

Ta có:

 

$\frac{11}{x^2}-\frac{25}{(x+5)^2}=1$

$\Leftrightarrow 11(x+5)^2-25x^2=x^2(x+5)^2$

$\Leftrightarrow x^4+10x^3+25x^2=11x^2+110x+11\times 25-25x^2$

$\Leftrightarrow x^4+25x^2+25^2+10x^3+50x^2+250x=36x^2+360x+30^2$

$\Leftrightarrow (x^2+5x+25)^2=(6x+30)^2$

 

Đến đây còn phương trình bậc 2 giải ra $x$ khá lẻ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kangaroo: 08-05-2018 - 13:03

[kangaroo]

Tại sao không chứng minh VT <= VP luôn cho nhanh :3

 

Thực ra thì cũng giống nhau cả 

[PhanThai0301]

Mình xin được giải 2 bài pt đã lâu mà vẫn chưa thấy ai giải đúng. Lão Hạc là dấu "-" nhé.

Bài 42 Pt đã cho tương đương với $X^{4}+2x^3+x^2-2x-1$ <=> $(x^2+2x+1)^{2}=2(x+1)^{2}$.

                                                                                                           <=> ...

             Nghiệm khá là đẹp: x=$\frac{1}{2}(-1+\sqrt{2}-\sqrt{2\sqrt{2}-1} )$.

                                               x=$\frac{1}{2}(-1+\sqrt{2}+\sqrt{2\sqrt{2}-1})$.

Bài 43: Đặt f(x)= $\frac{9x^{8}+84x^{6}+126x^{4}+36x^{2}+1}{x^{8}+36x^{6}+126x^{4}+84^{2}+1}$.

             Pt đã cho tương đương với af(x) + xf(a) = 0.

                                                   <=> (a - f(x))(x - f(x)) = (a+f(a))(x+f(x)).

 

             Dễ dàng suy ra x=-a.