Chủ đề này có 1 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho $0< a,b,c\leq 1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{3}{3+abc}$

[MoMo123]

Đây là cách giải của anh slenderman, em xin trích dẫn vào đây

$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{3}{3+abc}$ (với $a,b,c>0$ và $a,b,c \leq 1$
Ta có: $\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}(Cauchy-Schwarz)$
GIờ cần CM BĐT sau: $\frac{9}{4(a+b+c)}\geq \frac{3}{3+abc}\Leftrightarrow 3+abc\geq \frac{4}{3}(a+b+c)\Leftrightarrow 9+3abc\geq 4(a+b+c)$
Ta có: $c(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow abc\geq ac+bc-1$,làm, từ đó suy ra : $3abc+3\geq 2(ab+bc+ca)$
GIờ cần CM BĐT sau: $6+2(ab+bc+ca)\geq 4(a+b+c)\Leftrightarrow (a-1)(b-1)+(b-1)(c-1)+(c-1)(a-1)\geq 0$(ĐPCM)