Chủ đề này có 3 trả lời

[Jiki Watanabe]

Cho a,b,c dương thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=3$. Chứng minh rằng $\frac{27a^2}{c(c^2+9a^2)}+\frac{b^2}{a(4a^2+b^2)}+\frac{8c^2}{b(9b^2+4c^2)}\geq \frac{3}{2}$

[Kiratran]

điều cần cm $<=> \frac{3c}{c^2+9a^2} + \frac{4a}{4a^2+b^2} + \frac{18}{4c^2+9b^2}\leq \frac{3}{2}$

mà $<=> \frac{3c}{6ac} + \frac{4a}{4ab} + \frac{18}{12bc}\leq \frac{1}{2a} +\frac{1}{b} +\frac{3}{2c} = \frac{3}{2}$

[DOTOANNANG]

Đặt $x\,,y\,,z= \frac{1}{a}\,,\frac{2}{b}\,,\frac{3}{c}$

 

Khi đó:

 

$x+ y+ z= 3$

 

Bất đẳng thức cần chứng minh quá đỗi quen thuộc:

 

$\frac{x^{3}}{x^{2}+ y^{2}}+ \frac{y^{3}}{y^{2}+ z^{2}}+ \frac{z^{3}}{z^{2}+ x^{2}}\geqq \frac{x+ y+ z}{2}$

 

 

 

 

[Jiki Watanabe]

điều cần cm $<=> \frac{3c}{c^2+9a^2} + \frac{4a}{4a^2+b^2} + \frac{18}{4c^2+9b^2}\leq \frac{3}{2}$

mà $<=> \frac{3c}{6ac} + \frac{4a}{4ab} + \frac{18}{12bc}\leq \frac{1}{2a} +\frac{1}{b} +\frac{3}{2c} = \frac{3}{2}$

Tại sao ạ?