Cho a;b;c là các số thực dương. CMR
$\sum \frac{a+b-2c}{(5a+5b+2c)^3}\leq 0$
Cho a;b;c là các số thực dương. CMR
$\sum \frac{a+b-2c}{(5a+5b+2c)^3}\leq 0$
Giả sử $a\geq b\geq c$
$\Rightarrow a+b-2c\geq a+c-2b\geq b+c-2a$
và: $5a+5b+2c\geq 5a+5c+2b\geq 5b+5c+2a$
Áp dụng BĐT Chevbyshev cho hai dãy đơn điệu ngược chiều, ta có:
$\sum \frac{a+b-2c}{(5a+5b+2c)^3}\leq \sum (a+b-2c)\sum \frac{1}{(5a+5b+2c)^{2}}=0$ (đpcm)
Chuẩn hóa $a+ b+ c= 3$. Khi đó ta có:
$$\sum\limits_{cyc}\frac{a+ b- 2\,c}{\left ( 5\,a+ 5\,b+ 2\,c \right )^{3}} \leqq 0$$
$$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc}\frac{a- 1}{\left ( 5- a \right )^{3}}\geqq 0$$
$$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc}\frac{a- 1}{\left ( 5- a \right )^{3}}+ \frac{1}{64}\sum\limits_{cyc}\left (a- 1 \right )\geqq 0$$
$$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc}\frac{\left ( a- 1 \right )^{2}\left ( a^{2}- 14\,a+ 61 \right )}{64\left ( 5- a \right )^{3}}\geqq 0$$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac{1}{4b^2+9c^2+2} + \frac{1}{9c^2+a^2+2}$Bắt đầu bởi katcong, 26-03-2024 bđt, toan 9, vao 10, cuc tri |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $a+b+c\geq4\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)+5$Bắt đầu bởi Leonguyen, 07-06-2023 bđt, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=(4x-1)(3y-1)(2z-1)$Bắt đầu bởi Leonguyen, 20-04-2023 bđt |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{x+1}{\sqrt{3x^2+1}}$Bắt đầu bởi Leonguyen, 30-03-2023 bđt, cực trị, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng Minh Rằng $\frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{1}{C^2} \geq 3$Bắt đầu bởi nguyetnguyet829, 16-03-2023 bđt |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh