Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a+b-2c}{(5a+5b+2c)^3}\leq 0$

bđt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
trieutuyennham

trieutuyennham

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 470 Bài viết

Cho a;b;c là các số thực dương. CMR

$\sum \frac{a+b-2c}{(5a+5b+2c)^3}\leq 0$


                                                                           Tôi là chính tôi


#2
CatKhanhNguyen

CatKhanhNguyen

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết

Cho a;b;c là các số thực dương. CMR

$\sum \frac{a+b-2c}{(5a+5b+2c)^3}\leq 0$

Giả sử $a\geq b\geq c$

$\Rightarrow a+b-2c\geq a+c-2b\geq b+c-2a$

và: $5a+5b+2c\geq 5a+5c+2b\geq 5b+5c+2a$

Áp dụng BĐT Chevbyshev cho hai dãy đơn điệu ngược chiều, ta có:

$\sum \frac{a+b-2c}{(5a+5b+2c)^3}\leq \sum (a+b-2c)\sum \frac{1}{(5a+5b+2c)^{2}}=0$ (đpcm)



#3
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Chuẩn hóa $a+ b+ c= 3$. Khi đó ta có:

 

$$\sum\limits_{cyc}\frac{a+ b- 2\,c}{\left ( 5\,a+ 5\,b+ 2\,c \right )^{3}} \leqq 0$$

 

$$\Leftrightarrow  \sum\limits_{cyc}\frac{a- 1}{\left ( 5- a \right )^{3}}\geqq 0$$

 

$$\Leftrightarrow  \sum\limits_{cyc}\frac{a- 1}{\left ( 5- a \right )^{3}}+ \frac{1}{64}\sum\limits_{cyc}\left (a- 1 \right )\geqq 0$$

 

$$\Leftrightarrow  \sum\limits_{cyc}\frac{\left ( a- 1 \right )^{2}\left ( a^{2}- 14\,a+ 61 \right )}{64\left ( 5- a \right )^{3}}\geqq 0$$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh