Chủ đề này có 8 trả lời

[Khoa Linh]

Cho các số không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\geq \frac{4}{3}$

- Sáng tác- 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 27-04-2018 - 20:36

[viet9a14124869]

Cho các số không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\geq \frac{4}{3}$

- Sáng tác- 

Lần đầu mình gặp dạng này , cũng hay phết , không biết Khoa Linh còn bài nào khác tương tự không ??

Lời giải :

Giả sử c = max {a; b; c}  

i. Nếu $c\leq \frac{1}{2} $ thì $VT\geq \frac{3}{c^2+2}\geq \frac{4}{3}$ 

ii. Nếu $c\geq \frac{1}{2}$ . Ta có một đánh giá sau : 

$$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}\geq \frac{2}{(a+b)^2+2}$$ 

$$\Leftrightarrow (a^2+b^2)^2+2ab(a^2-ab+b^2)+2a^2+8ab+2b^2\geq 0$$ 

Điều này đúng vì a,b không âm .

Do đó kết hợp điều kiện a+b=1- c thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : 

$$\frac{1}{c^2+2}+\frac{2}{(c-1)^2+2}\geq \frac{4}{3}$$

$$\Leftrightarrow (c-1)(2c-1)(2c^2-c+3)\leq 0$$ 

Điều này luôn đúng với điều kiện ta xét ở trên .

Vậy bài toán được chứng minh , dấu bằng xảy ra khi (a;b;c)=(0;0;1) và các hoán vị của nó .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 28-04-2018 - 14:36

[tr2512]

Cho các số không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\geq \frac{4}{3}$

- Sáng tác- 

Thú vị có thể làm trội lên nữa nhưng mình sẽ không nêu ra vì một vài lý do  

Ta sẽ chứng minh:

$$ \frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{c^2+2} \ge \frac{1}{(a+c)^2+2} +1/2 $$

$$ \Leftrightarrow ac(8-4ac-2a^2c^2-a^3c-ac^3) \ge 0 \text{ (Luôn đúng)} $$

Như vậy ta chỉ cần chứng minh:

$$ \frac{1}{(1-b)^2+2}+\frac{1}{b^2+2} \ge 5/6 $$

$$ \Leftrightarrow \frac{b(1-b)(5b^2-5b+8)}{6(b^2+2)(b^2-2b+3)} \ge 0 \text{  (Luôn đúng)} $$

Hoàn tất chứng minh.

P/s: Bài này hay nhưng còn yếu, cụ thể là mình còn chưa sắp xếp thứ tự các biến nhưng vẫn giải được bài này , hi vọng tác giả có thể làm trội hơn được

@viet9a14124869: dồn về thế này đơn giản hơn chứ chia trường hợp kia có vẻ hơi "cực khổ"  

[viet9a14124869]

 

Thú vị có thể làm trội lên nữa nhưng mình sẽ không nêu ra vì một vài lý do

$$ \frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{c^2+2} \ge \frac{1}{(a+c)^2+2} +1/2 $$

$$ \Leftrightarrow ac(8-4ac-2a^2c^2-a^3c-ac^3) \ge 0 \text{ (Luôn đúng)} $$

@viet9a14124869: dồn về thế này đơn giản hơn chứ chia trường hợp kia có vẻ hơi "cực khổ"

 

Tui có nghĩ đến bổ đề này trước khi nghĩ đến bổ đề trên kia rồi , cơ mà quên mất $a+c\leq 1$ =)) .....

[Khoa Linh]

Bài này em tưởng mọi người sẽ chê dễ vì lời giải của em đơn giản lắm     

Lời giải: 

Ta đi chứng minh: $\frac{1}{a^2+2}\geq \frac{-a}{6}+\frac{1}{2}\Leftrightarrow a(a-1)(a-2)\geq 0$ (luôn đúng)

Suy ra $\sum \frac{1}{a^2+2}\geq \frac{-(a+b+c)}{6}+\frac{3}{2}=\frac{4}{3}$

[melodias2002]

Không mất tính tổng quát, giả sử $c=max(a,b,c)$

Khi đó $1=a+b+c \leq 3c \Rightarrow c \geq \frac{1}{3}$. Suy ra $\frac{1}{3} \leq c \leq 1$

Ta có $\frac{1}{a^2+2} + \frac{1}{b^2+2} + \frac{1}{c^2+2} \geq \frac{4}{a^2+b^2+4} + \frac{1}{c^2+2} \geq \frac{4}{(a+b)^2+4} + \frac{1}{c^2+2} = \frac{4}{(1-c)^2+4} + \frac{1}{c^2+4}$

Ta sẽ CM $\frac{4}{(1-c)^2+4} + \frac{1}{c^2+4} \geq \frac{4}{3}$  (1)

Thật vậy: (1) $\Leftrightarrow 3(4(c^2+2)+c^2-2c+5) \geq 4(c^2+2)(c^2-2c+5) \Leftrightarrow 4c^4-8c^3+13c^2-10c+1 \leq 0 \Leftrightarrow (c-1)(4c^3-4c^2+9c-1) \leq 0$ (*)

Mà $4c^3-4c^2+9c-1=c(2c-1)^2+8c-1 \geq 8c-1 >0$ (Vì $c \leq \frac{1}{3}$) và $c \leq 1$

Nên (*) đúng. Ta có ĐPCM

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow (a,b,c)=(0,0,1)$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi melodias2002: 27-04-2018 - 23:48

[viet9a14124869]

Bài này em tưởng mọi người sẽ chê dễ vì lời giải của em đơn giản lắm     

Lời giải: 

Ta đi chứng minh: $\frac{1}{a^2+2}\geq \frac{-a}{6}+\frac{1}{2}\Leftrightarrow a(a-1)(a-2)\geq 0$ (luôn đúng)

Suy ra $\sum \frac{1}{a^2+2}\geq \frac{-(a+b+c)}{6}+\frac{3}{2}=\frac{4}{3}$

Best =3 ... Mình chỉ có chút kiến thức về UCT thoii, nhưng làm sao tìm được hệ số như này ??

[tr2512]

Bài này em tưởng mọi người sẽ chê dễ vì lời giải của em đơn giản lắm     

Lời giải: 

Ta đi chứng minh: $\frac{1}{a^2+2}\geq \frac{-a}{6}+\frac{1}{2}\Leftrightarrow a(a-1)(a-2)\geq 0$ (luôn đúng)

Suy ra $\sum \frac{1}{a^2+2}\geq \frac{-(a+b+c)}{6}+\frac{3}{2}=\frac{4}{3}$

Thực ra lúc đầu định làm như vầy, nhưng thấy bài của Việt tưởng chặt quá nên đổi qua dồn biến  

@Việt: về cách chọn hệ số, mình thường làm như sau, không biết tác giả làm kiểu gì:

Xây dựng 2 bđt cơ sở:

$\frac{1}{{{a^2} + 2}} \ge m\left( {a - 1} \right) + \frac{1}{3}\\ \frac{1}{{{a^2} + 2}} \ge na + \frac{1}{2}$

Từ đây ta thu được $m=\frac{-1}{6}$

P/s: tất nhiên nó chỉ work với mấy bài yếu, chặt hơn thì mệt lắm

Không biết tác giả tìm ra kiểu gì  

[viet9a14124869]

Thực ra lúc đầu định làm như vầy, nhưng thấy bài của Việt tưởng chặt quá nên đổi qua dồn biến

@Việt: về cách chọn hệ số, mình thường làm như sau, không biết tác giả làm kiểu gì:

Xây dựng 2 bđt cơ sở:

$\frac{1}{{{a^2} + 2}} \ge m\left( {a - 1} \right) + \frac{1}{3}\\ \frac{1}{{{a^2} + 2}} \ge na + \frac{1}{2}$

Từ đây ta thu được $m=\frac{-1}{6}$

P/s: tất nhiên nó chỉ work với mấy bài yếu, chặt hơn thì mệt lắm

Không biết tác giả tìm ra kiểu gì

Chắc là đoán dấu bằng (0;0;1) nên tác giả muốn làm xuất hiện đại lượng chứa tích a(a-1) ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 28-04-2018 - 10:56