Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$\lim_{n\rightarrow+\infty }\left ( 1 - \frac{1}{2^{2}} \right )\left ( 1 - \frac{1}{3^{2}} \right )...$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Tran Hoai Nghia

Tran Hoai Nghia

    UNEXPECTED PLEASURE.

  • Thành viên
  • 431 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tân Phú, TP.HCM
  • Sở thích:Giải toán.

Đã gửi 27-04-2018 - 21:45

Tính $\lim_{n\rightarrow+\infty }\left ( 1 - \frac{1}{2^{2}} \right )\left ( 1 - \frac{1}{3^{2}} \right )...\left ( 1 - \frac{1}{n^{2}} \right )$ với $n\geq 2,n\in \mathbb{N}$
Sẵn tiện giải giúp mình cái này nhé, chưa hiểu chứng minh vì sao có kết quả $\lim \frac{n}{3^{n}} = 0$.Cảm ơn nhé.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoai Nghia: 27-04-2018 - 22:12

SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: 
https://www.facebook...toanchuyenkhao/


#2 Cuongpa

Cuongpa

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:hình như là ko có

Đã gửi 28-04-2018 - 00:58

Tính $\lim_{n\rightarrow+\infty }\left ( 1 - \frac{1}{2^{2}} \right )\left ( 1 - \frac{1}{3^{2}} \right )...\left ( 1 - \frac{1}{n^{2}} \right )$ với $n\geq 2,n\in \mathbb{N}$
Sẵn tiện giải giúp mình cái này nhé, chưa hiểu chứng minh vì sao có kết quả $\lim \frac{n}{3^{n}} = 0$.Cảm ơn nhé.

Để ý $1-\frac{1}{k^{2}}=\frac{(k-1)(k+1)}{k^{2}}$

Khi đó thì 

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\left (1-\frac{1}{2^{2}} \right )\left ( 1-\frac{1}{3^{2}} \right )...\left ( 1-\frac{1}{n^{2}} \right )=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1.(n+1)}{2n}= \frac{1}{2}$

 

Còn cái phía sau thì với $n>3$ ta có: $3^{n}>n^{3}$

Do đó khi $n\rightarrow +\infty$ thì $0< \frac{n}{3^{n}}<\frac{n}{n^{3}}=\frac{1}{n^{2}}\rightarrow 0\Rightarrow \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n}{3^{n}}=0$


Success doesn't come to you. You come to it.


#3 Tran Hoai Nghia

Tran Hoai Nghia

    UNEXPECTED PLEASURE.

  • Thành viên
  • 431 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tân Phú, TP.HCM
  • Sở thích:Giải toán.

Đã gửi 28-04-2018 - 20:39

Để ý $1-\frac{1}{k^{2}}=\frac{(k-1)(k+1)}{k^{2}}$

Khi đó thì 

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\left (1-\frac{1}{2^{2}} \right )\left ( 1-\frac{1}{3^{2}} \right )...\left ( 1-\frac{1}{n^{2}} \right )=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1.(n+1)}{2n}= \frac{1}{2}$

 

Còn cái phía sau thì với $n>3$ ta có: $3^{n}>n^{3}$

Do đó khi $n\rightarrow +\infty$ thì $0< \frac{n}{3^{n}}<\frac{n}{n^{3}}=\frac{1}{n^{2}}\rightarrow 0\Rightarrow \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n}{3^{n}}=0$

Chưa rõ chỗ này, bạn giải thích thêm nhé.

Bài giới hạn trên mình có đọc được lời giải chi tiết, bạn giải như vậy không thể nhìn ra vấn đề tại sao lại rút gọn được vậy, bài này rút gọn khó nhận ra, từ đầu mình có nghĩ đến khai triển nhưng lại nhìn không ra.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoai Nghia: 28-04-2018 - 21:04

SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: 
https://www.facebook...toanchuyenkhao/


#4 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 29-04-2018 - 19:49

Chưa rõ chỗ này, bạn giải thích thêm nhé.

Bài giới hạn trên mình có đọc được lời giải chi tiết, bạn giải như vậy không thể nhìn ra vấn đề tại sao lại rút gọn được vậy, bài này rút gọn khó nhận ra, từ đầu mình có nghĩ đến khai triển nhưng lại nhìn không ra.

 

1) Bạn có quen với BĐT $e^u \ge \frac{u^k}{k!}, \forall u>0, k\in \mathbb{N}.$

Khi đó, $3^n= e^{n\ln 3} \ge \frac{n^2\ln^2 3}{2!}.$

 

Do đó, \[\left|\frac{n}{3^n} \right| \le \frac{2}{n \ln^2 3}, \forall n\in \mathbb{N}.\] 

Sử dụng định lý kẹp, ta suy ra đpcm.

 

Nếu không thì bạn dùng khai triển nhị thức Niuton và giữ lại số hạng thứ chứa mũ 2.

 

2) 

Vì $1-\frac{1}{k^2}= \frac{(k-1)(k+1)}{k^2} \forall k=\overline{2,n}$ nên 

\[\prod_{k=2}^n \left( 1-\frac{1}{k^2}\right)=\dfrac{ \displaystyle \prod_{k=2}^n (k-1)\prod_{k=2}^n (k+1)}{\prod_{k=2}^nk^2}= \dfrac{(n-1)! . \frac{(n+1)!}{2}}{(n!)^2}=\frac{n+1}{2n}.\]


Đời người là một hành trình...





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh