Chủ đề này có 3 trả lời

[Khoa Linh]

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a,b,c\geq 1$ và $a+b+c=6$. Chứng minh rằng:

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 4$ 

-Sáng tác-

 

[Phuongthaonguyen]

Chứng minh kiểu j vậy

[tr2512]

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a,b,c\geq 1$ và $a+b+c=6$. Chứng minh rằng:

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 4$ 

-Sáng tác-

Ta đặt $a-1=x; b-1=y; c-1=z$ thì có $x,y,z \ge 0$ và $x+y+z=3$

Bất đẳng thức trở thành: $\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1} \ge 4$

Ta sẽ sử dụng 1 bổ đề: Cho các số thực a, b, c sao cho các căn có nghĩa và $ab\ge0$ thì $\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b} \ge 1+\sqrt{1+a+b}$ (Các bạn tự chứng minh)

Áp dụng bổ đề trên ta có:

$\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b}+\sqrt{1+c} \ge 1+\sqrt{1+a+b}+\sqrt{c+1}=1+\sqrt{4-c}+\sqrt{c+1}$

Vậy cuối cùng ta cần chứng minh:$ \sqrt{4-c}+\sqrt{c+1}\ge3$

Dễ dàng chứng minh điều này dựa vào $0\le c \le 3$.

Hoàn tất chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 28-04-2018 - 11:34

[Khoa Linh]

@tr2512, anh đã làm đúng ý tưởng ra đề của em   

Cách khác đơn giản hơn: 

$a+b+c\geq 1\Rightarrow a,b,c\leq 4\Rightarrow 1\leq \sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\leq 2$

Suy ra ta có: 

$\sum (\sqrt{a}-1)(2-\sqrt{a})\geq 0\Leftrightarrow 3( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq a+b+c+6=12\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 4$

Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,4)$ và các hoán vị 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 28-04-2018 - 12:39