Chủ đề này có 2 trả lời

[Khoa Linh]

Cho các số dương $a, b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng: 

$\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\leq 1$

- Sáng tác -

[viet9a14124869]

Cho các số dương $a, b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng: 

$\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\leq 1$

- Sáng tác -

Bài này cũ rồi , không nhớ là của ai nữa   

Lời giải :

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$$\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\geq 1$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt ,ta có : 

$$VT\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{a+b+c+6}=\frac{(a+b+c)+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})}{a+b+c+6}\geq \frac{a+b+c+6\sqrt[3]{abc}}{a+b+c+6}=1$$

 

Bài toán được chứng minh xong , dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 28-04-2018 - 13:09

[phamhuy1801]

Cho các số dương $a, b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng: 

$\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\leq 1$

- Sáng tác -

 

Quy đồng nhân tung ta thu được $ab+bc+ca \ge 3$, hiển nhiên đúng với điều kiện đề bài.

 

Với điều kiện $a,b,c$ dương, $abc=1$, mình cũng tìm ra chuỗi bất đẳng thức khá thú vị

$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}-\frac{1}{2} \ge \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2} \ge \frac{a}{a^2+a+1}+\frac{b}{b^2+b+1}+\frac{c}{c^2+c+1}$