Chủ đề này có 5 trả lời

[Ren]

Cho a,b,c là các số thực thõa mãn a²+b²+c²=27 . Tìm min a³+b³+c³

[nhuleynguyen]

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

$(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)\geq (\sqrt{a}.a\sqrt{a}+\sqrt{b}.b\sqrt{b}+\sqrt{c}.c.\sqrt{c})^2=(a^2+b^2+c^2)^2$   (1)

$(a+b+c)^2\leq (a^2+b^2+c^2).(1+1+1)=3(a^2+b^2+c^2)$

$\Rightarrow (a+b+c)\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$       (2)

Từ (1) và (2) suy ra 

$27^2\leq (a^3+b^3+c^3)\sqrt{3.27}\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\geq 81$

 Vậy $a^3+b^3+c^3_{min}=81\Leftrightarrow a=b=c=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhuleynguyen: 29-04-2018 - 08:59

[canletgo]

$a^3+a^3+3^3\geq 9a^2$

(Dùng BĐT Cauchy cho 3 số)

Tương tự ta cũng có $b^3+b^3+3^3\geq 9b^2$ và $c^3+c^3+3^3\geq 9c^2$

Cộng các vế lại là ok

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canletgo: 29-04-2018 - 09:04

[trieutuyennham]

Cho a,b,c là các số thực thõa mãn a²+b²+c²=27 . Tìm min a³+b³+c³

Do $a^{2}+b^{2}+c^{2}=27$ nên $a;b;c \in [-3;3]$

$\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq (-3)^{3}+(-3)^{3}+(-3)^{3}=-81$

[viet9a14124869]

Cho a,b,c là các số thực thõa mãn a²+b²+c²=27 . Tìm min a³+b³+c³

Lời giải : 

 

 

Theo đề ra , ta có $a,b,c\in[-3\sqrt{3};3\sqrt{3}]$

Do đó $a^2(a+3\sqrt{3})+b^2(b+3\sqrt{3})+c^2(c+3\sqrt{3})\geq 0\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\geq -3\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)=-81\sqrt{3}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $-81\sqrt{3}$ , dấu bằng xảy ra với các bộ hoán vị của $(0; 0; -3\sqrt{3})$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 29-04-2018 - 09:47

[thanhdatqv2003]

$a^3+a^3+3^3\geq 9a^2$

(Dùng BĐT Cauchy cho 3 số)

Tương tự ta cũng có $b^3+b^3+3^3\geq 9b^2$ và $c^3+c^3+3^3\geq 9c^2$

Cộng các vế lại là ok

ko áp dụng đc AM-GM bạn à Vì a,b,c là các số thực