Chủ đề này có 1 trả lời

[ViTuyet2001]

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính R. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ 2 tiếp tuyến MA,MB (A,B là tiếp điểm) và cát tuyến MCD( theo thứ tự đó). Gọi H là giao điểm MO và AB.

Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt MA,MB theo thứ tự tại E và F. đường vuông góc với MO tại O cắt MA,MB theo thứ tự tạ P,Q 

$CMR$:  $\widehat{POE}=\widehat{OFQ}$

                $PE+QF \geq PQ$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ViTuyet2001: 29-04-2018 - 12:38

[vkhoa]

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính R. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ 2 tiếp tuyến MA,MB (A,B là tiếp điểm) và cát tuyến MCD( theo thứ tự đó). Gọi H là giao điểm MO và AB.

Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt MA,MB theo thứ tự tại E và F. đường vuông góc với MO tại O cắt MA,MB theo thứ tự tạ P,Q 

$CMR$:  $\widehat{POE}=\widehat{OFQ}$

                $PE+QF \geq PQ$

a)

$\widehat{COE}  =\widehat{AOE} =\frac12\widehat{AOC}$

$\widehat{COF} =\widehat{BOF} =\frac12\widehat{BOC}$

$\Rightarrow\widehat{EOF} =\widehat{EOC} +\widehat{FOC} =\frac12(\widehat{AOC} +\widehat{BOC}) =\frac12\widehat{AOB}$

$=\frac12(180^\circ -\widehat{AOP} -\widehat{BOQ}) =90^\circ -\widehat{AOP} =\widehat{EPO} =\widehat{OQF}$

mà $\widehat{OEF} =\widehat{OEP}$

$\Rightarrow\widehat{EFO} =\widehat{POE}$

mà $\widehat{QFO} =\widehat{OFE}$

$\Rightarrow\widehat{POE} =\widehat{OFQ}$

b)

$\triangle PEO\sim\triangle OEF$ (g, g)

$\Rightarrow\frac{PE}{PO} =\frac{OE}{OF}$

$\triangle OQF\sim\triangle EOF$ (g, g)

$\Rightarrow\frac{QF}{QO} =\frac{OF}{OE}$

$\frac{PE}{PO} +\frac{QF}{QO} =\frac{OE}{OF} +\frac{OF}{OE}\geqslant 2$

$\Leftrightarrow\frac{2PE}{PQ} +\frac{2QF}{PQ}\geqslant 2$

$\Leftrightarrow PE +QF\geqslant PQ$ (đpcm)

Hình gửi kèm

•