Chủ đề này có 4 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn $\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+x^{2}}=2018$

Tìm GTNN của $P=\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{x+y}$

[Khoa Linh]

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn $\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+x^{2}}=2018$

Tìm GTNN của $P=\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{x+y}$

Theo Cauchy - Schwarz ta có:

$\sum \frac{a^2}{b+c}=\sum \frac{a^4}{(b+c)a^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)}$

Ta lại có:

$\left [ ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) \right ]^2\leq (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\left [ (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2 \right ]$

Theo AM- GM thì $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\leq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}$ và $(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2=2(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)\leq 4(a^2+b^2+c^2)$

Suy ra $a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\leq \frac{2}{\sqrt{3}}(a^2+b^2+c^2)\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Ta thu được: $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)}\geq \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{2}$

Mặt khác theo GT thì dễ dàng chứng minh: $a^2+b^2+c^2\geq \frac{2036162}{3}$

Suy ra $P\geq \frac{\sqrt{2036162}}{2}$

[Diepnguyencva]

Bài bất cuối http://hoctoancungno...17-2018-co-dap/

[buingoctu]

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn $\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+x^{2}}=2018$

Tìm GTNN của $P=\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{x+y}$

C2: Ta có $\sqrt{2(x^2+y^2)}\geq x+y$

tương tự:...

=> $P\geq \sum \frac{x^2}{\sqrt{2(y^2+z^2)}}$

Đặt $(\sqrt{x^2+y^2};\sqrt{y^2+z^2};\sqrt{x^2+z^2})=(a;b;c)$

=> $x^2=\frac{a^2+c^2-b^2}{2};y^2=\frac{a^2+b^2-c^2}{2};z^2=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}$

=> $P\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{a^2+c^2-b^2}{b}+\frac{a^2+b^2-c^2}{c}+\frac{b^2+c^2-a^2}{a})=\frac{1}{2\sqrt{2}}\sum (\frac{a^2+c^2}{b}-b) \geq \frac{1}{2\sqrt{2}}(\sum (\frac{(a+c)^2}{2b}-b))=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\sum ((\frac{(a+c)^2}{2b}+2b)-3b))\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}(\sum 2(a+c)-3b)=\frac{1}{2\sqrt{2}}(a+b+c)=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2018}}{2}$

[dragon ball super]

Chắc dùng cauchy