Từ một điểm A bên ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AB,AC và cắt tuyến AEF( EF không đi qua O, B và C là các tiếp điểm). Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, DE, DF lần lượt cắt AO tại M và N. CMR:
1) Tam giác CEF đồng dạng với tam giác CMN.
2) OM=ON
1)
$AO\perp BC, CD\perp BC\Rightarrow AO //CD$
$\widehat{EMA} =\widehat{EDC} =\widehat{ECA}$
$\Rightarrow EMCA $ nội tiếp (1)
$\Rightarrow\widehat{AEC} =\widehat{AMC}$
$\Rightarrow\widehat{CEF} =\widehat{CMN}$ (2)
(1)$\Rightarrow\widehat{CAN} =\widehat{CED} =\widehat{CFN}$
$\Rightarrow CAFN$ nội tiếp
$\Rightarrow\widehat{CFE} =\widehat{CNM}$ (3)
từ (2, 3)$\Rightarrow\triangle CEF\sim\triangle CMN$ (g, g)
2)
$MNDC$ là hình thang (4)
$\widehat{NDC} =\widehat{AEC} =\widehat{AMC} =\widehat{MCD}$ (5)
từ (4, 5)$\Rightarrow MNDC$ là hình thang cân
$O$ nằm trên trung trực của $CD$ cũng là trung trực của $MN$
$\Rightarrow OM =ON$