Chủ đề này có 1 trả lời

[supernatural1]

Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn: $ x^{2}+y^{2}+xy+2=3(x+y) $. Tìm GTLN của biểu thức: $ P=\frac{3x+2y+1}{x+y+6} $

[trambau]

Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn: $ x^{2}+y^{2}+xy+2=3(x+y) $. Tìm GTLN của biểu thức: $ P=\frac{3x+2y+1}{x+y+6} $

$x^{2}+y^{2}+xy+2=3(x+y)\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+xy+2-3(x+y)=0\Leftrightarrow (x+\frac{y}{2}-\frac{3}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}y}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})^2=1$

Đặt $\left\{\begin{matrix} x+\frac{y}{2}=\frac{3}{2}=sina & & \\ \frac{\sqrt{3}y}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=cosa & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=sina+1-\frac{cosa}{\sqrt{3}} & & \\ y=\frac{2cosa}{\sqrt{3}}+1 & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P=\frac{3sina+\frac{cosa}{\sqrt{3}}+6}{sina+\frac{cosa}{\sqrt{3}}+8} \Leftrightarrow (P-3)sina+(\frac{P-1}{\sqrt{3}})cosa-6+8P=0$

PT có nghiệm khi $(P-3)^2+(\frac{P-1}{\sqrt{3}})^2\geq (6-8P)^2\Rightarrow \frac{20}{47}\leq P\leq1$

Vậy GTLN của P =1 khi x=2 y=1