Chủ đề này có 5 trả lời

[DOTOANNANG]

[DOTOANNANG]

1. Chứng minh bất đẳng thức đúng với $abc= 1$

 

2. Cho mình hỏi về cách dùng hàm để giải bài này. Mình cảm ơn!

[tr2512]

 

CodeCogsEqn.gif

 

Thực hiện đổi biến: $(a^4;b^4;c^4) \rightarrow (x,y,z) \Rightarrow xyz=1$

Bất đẳng thức trở thành:

$\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{y + 1}}{{{y^2} + y + 1}} + \frac{{z + 1}}{{{z^2} + z + 1}} \le 2$

Nếu là hàm số:

Ta sẽ đi xác định số $k$:
$\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} \le \frac{2}{3} + k\ln x$

Lấy đạo hàm 2 vế thu được $k=\frac{-1}{3}$

Ta sẽ chứng minh:

$f\left( x \right) = \frac{2}{3} - \frac{1}{3}\ln {\rm{x}} - \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} \ge 0$

Tính đạo hàm: $f'\left( x \right) = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {1 + 3x - {x^3}} \right)}}{{3{\rm{x}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}}$ thấy phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm là $x=1$

Đạo hàm tiếp: $f''(x)=\frac{{{x^6} - 3{x^5} - 12{x^4} + 7{x^3} + 12{x^2} + 3x + 1}}{{3{{\rm{x}}^2}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^3}}}$

Có $f''(1)>0$

Vậy $f(x) \ge f(1)$

Lậy 2 bất đẳng thức tương tự và chú ý: $lnx+lny+lnz=ln xyz=0$ thu được điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 04-05-2018 - 13:04

[DOTOANNANG]

Tính đạo hàm: $f'\left( x \right) = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {1 + 3x - {x^3}} \right)}}{{3{\rm{x}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}}$ thấy phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm là $x=1$

 

 

Vẫn còn nghiêm dương khác là 1, 8794

[tr2512]

Vẫn còn nghiêm dương khác là 1, 8794

Nghiệm này thay vào $f''(x)$ thì $f''(1.84)<0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 13-05-2018 - 20:10

[Khoa Linh]

 

CodeCogsEqn.gif

 

Đặt $a^4=\frac{x^2}{yz};b^4=\frac{y^2}{xz};c^4=\frac{z^2}{xy}$.

Ta có: $\sum \frac{a^8}{a^8+a^4+1}=\sum \dfrac{\dfrac{x^4}{y^2z^2}}{\dfrac{x^4}{y^2z^2}+\dfrac{x^2}{yz}+1}=\frac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sum x^4+xyz(x+y+z)+\sum y^2z^2}\geq 1$

Suy ra $\sum \frac{a^4+1}{a^8+a^4+1}\leq 2$