Chủ đề này có 3 trả lời

[conankun]

Cho $a, b, c>0 $ và $a^2+4b^2+9c^2=14$

Tìm max của $P=3b+8c+abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 04-05-2018 - 18:02

[MoMo123]

Ta có: $(3b+8c+abc+24)^2 \leq (3+8+a^2+24)(3b^2+8c^2+b^2c^2+24) =(a^2+35)(b^2+8)(c^2+3)$

$=\frac{1}{36}(a^2+25)(4b^2+32)(9c^2+27)\leq \frac{1}{36.27}(a^2+35+4b^2+32+9c^2+27)^3 =36^2 $

$ \Rightarrow 3b+8c+abc \leq 12$

Dẫu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

[DOTOANNANG]

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

 

$\frac{b^{2}+ 1}{2}\geqq b$

 

$\frac{c^{2}+ 1}{2}\geqq c$

 

Và ta chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn:

 

$3\, \frac{b^{2}+ 1}{2}+ 8\,\frac{c^{2}+ 1}{2}+abc\leqq 12$

 

$3\,b^{2}+ 8\,c^{2}+ 2\,abc\leqq 13$

 

Thuần nhất hai vế của bất đẳng thức, ta được:

 

$3\,b^{2}+ 8\,c^{2}+ 2\,abc\,\sqrt{\frac{14}{a^{2}+ 4\,b^{2}+ 9\,c^{2}}}\leqq 13\,\frac{a^{2}+ 4\,b^{2}+ 9\,c^{2}}{14}$

 

trở thành:

 

$13\,a^{2}+ 10\,b^{2}+ 5\,c^{2}\geqq 2\,abc\,\sqrt{\frac{14}{a^{2}+ 4\,b^{2}+ 9\,c^{2}}}$

 

hoặc có thể nói:

 

$(a^{2}+ 4\,b^{2}+9\,c^{2})\,(13\,a^{2}+ 10\,b^{2}+ 5\,c^{2})^{2}\geqq 28^{2}\,14\,(abc)^{2}$

 

$(\frac{a^{2}}{14}+ \frac{4\,b^{2}}{14}+ \frac{9\,c^{2}}{14})\,(\frac{13\,a^{2}}{28}+ \frac{10\,b^{2}}{28}+ \frac{5\,c^{2}}{28})^{2}\geqq a^{2}b^{2}c^{2}$

 

AM-GM một lần nữa:

 

$\frac{a^{2}}{14}+ \frac{4\,b^{2}}{14}+ \frac{9\,c^{2}}{14}\geqq (a^{2})^{\frac{1}{14}}\,(b^{2})^{\frac{4}{14}}\,(c^{2})^{\frac{9}{14}}$

 

$(\frac{13\,a^{2}}{28}+ \frac{10\,b^{2}}{28}+ \frac{5\,c^{2}}{28})^{2}\geqq (a^{2})^{2\,\frac{13}{28}}\,(b^{2})^{2\,\frac{10}{28}}\,(c^{2})^{2\,\frac{5}{28}}$

 

Nhân hai bất đẳng thức trên lại với nhau, ta được bất đẳng thức cần phải chứng minh.

 

[kekkei]

Sử dụng AM-GM, ta quy về chứng minh:

$3b^2+8c^2+2abc \leq 13$

hay $a^2+b^2+c^2 \geq 2abc+1 (1)$

Xét các trường hợp:

+ $(b-1)(c-1) \leq 0$

$VP_{1} \leq a^2+b^2c^2+1 \leq a^2+b^2+c^2$

+ $(b-1)(c-1) \geq 0$

*$b \geq 1, c \geq 1  \Rightarrow a \leq 1 $ 

* $ b \leq 1, c \leq 1 \Rightarrow a \geq 1$

Từ 2 trường hợp, ta có: $(a-1)(bc-1) \leq 0$ và $(a-1)(a-bc) \geq 0$

$a^2+b^2+c^2-2abc-1 \geq a+b^2+c^2-abc-bc-1=(b-c)^2-(a-1)(bc-1) \geq 0$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kekkei: 05-05-2018 - 17:48