Chủ đề này có 1 trả lời

[BurakkuYokuro11]

Cho n là số nguyên dương lớn hơn 2 và kí hiệu n!= 1.2.3...n( Tích của n số nguyên dương đầu tiên ). CMR : Với mỗi số nguyên dương lớn hơn 2 và không vượt quá n! đều phân tích được thành tổng gồm không quá n số nguyên dương, sao cho 2 số bất kỳ đều khác nhau và mỗi số này đều là ước của n!

[duylax2412]

Quy nạp thôi

Với $n=3$ thì dễ chỉ ra.

Giả sử với $n$ thì mọi số nguyên dương $>2$ và không quá $n!$ đều biểu diễn được thành tổng không quá $n$ số nguyên dương phân biệt là ước $n!$

Xét $ n!+1 \leq k \leq (n+1)!$ (vì $k \leq n!$ đã đúng theo giả sử)  Thực hiện phép chia $k$ cho $n+1$ với số dự $r$ và thương $t$, tức $k=(n+1)t+r (0 \leq r \leq n)$

Dễ thấy $t \leq n!$ nên theo giả thiết quy nạp tồn tại $a_1;a_2;...;a_m (m \leq n)$ đôi một phân biêt sao cho $t=a_1+a_2+...+a_m$ với $a_i |n! \forall i=\overline{1;n}$

Thì $k=(n+1)a_1+(n+1)a_2+...+(n+1)a_m +r$ cũng là tổng không quá $n+1$ số nguyên dương và dễ thấy các số này phân biệt và là ước $(n+1)!$

Theo nguyên lý quy nạp là xong