Cho n là số nguyên dương lớn hơn 2 và kí hiệu n!= 1.2.3...n( Tích của n số nguyên dương đầu tiên ). CMR : Với mỗi số nguyên dương lớn hơn 2 và không vượt quá n! đều phân tích được thành tổng gồm không quá n số nguyên dương, sao cho 2 số bất kỳ đều khác nhau và mỗi số này đều là ước của n!
Cho n là số nguyên dương lớn hơn 2 và kí hiệu n!= 1.2.3...n( Tích của n số nguyên dương đầu tiên )
#1
Đã gửi 04-05-2018 - 20:50
#2
Đã gửi 21-06-2018 - 11:12
Quy nạp thôi
Với $n=3$ thì dễ chỉ ra.
Giả sử với $n$ thì mọi số nguyên dương $>2$ và không quá $n!$ đều biểu diễn được thành tổng không quá $n$ số nguyên dương phân biệt là ước $n!$
Xét $ n!+1 \leq k \leq (n+1)!$ (vì $k \leq n!$ đã đúng theo giả sử) Thực hiện phép chia $k$ cho $n+1$ với số dự $r$ và thương $t$, tức $k=(n+1)t+r (0 \leq r \leq n)$
Dễ thấy $t \leq n!$ nên theo giả thiết quy nạp tồn tại $a_1;a_2;...;a_m (m \leq n)$ đôi một phân biêt sao cho $t=a_1+a_2+...+a_m$ với $a_i |n! \forall i=\overline{1;n}$
Thì $k=(n+1)a_1+(n+1)a_2+...+(n+1)a_m +r$ cũng là tổng không quá $n+1$ số nguyên dương và dễ thấy các số này phân biệt và là ước $(n+1)!$
Theo nguyên lý quy nạp là xong
- Tea Coffee, MoMo123, 99 my number và 1 người khác yêu thích
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: burakku yokuro, số học
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$x^n+n \vdots p^m$Bắt đầu bởi trinhgiahuy2008, 15-01-2024 số học |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh