a)
Có $\widehat{HEA} =\widehat{HFA} =\widehat{HMA} =\widehat{HNA} =90^\circ$
$\Rightarrow A, H, M, N, E, F$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AH$
$\widehat{MNE} =\widehat{MAE} =\widehat{MAF} =\widehat{MNF} =\widehat{MEF}$
$\Rightarrow MN\perp EF$
mà $DE=\frac12MN =DF$
$\Rightarrow MN $ là trung trực $EF$
có $\triangle PQB\sim\triangle PBA$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{PQ}{PB} =\frac{PB}{PA} =\frac{QB}{BA}$
$\frac{PQ}{PA} =\frac{PQ}{PB} .\frac{PB}{PA} =\frac{QB^2}{BA^2}$
cm tương tự $\frac{PQ}{PA} =\frac{QC^2}{CA^2}$
$\Rightarrow\frac{QB}{BA} =\frac{QC}{CA}$
$\Rightarrow\frac{QB}{QC} =\frac{BA}{CA} =\frac{BJ}{CJ}$
$\Rightarrow QJ$ là phân giác $\widehat{BQC}$
b)
Gọi $K$ là điểm thuộc $(O)$ sao cho $BCKQ$ là hình thang cân
$AK$ cắt $BC$ tại $I$
$BQ =KC$
$\Rightarrow\widehat{BAQ} =\widehat{IAC}$
mà $\widehat{BQA} =\widehat{ICA}$
$\Rightarrow\triangle BAQ\sim\triangle IAC$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{BA}{BQ} =\frac{IA}{IC} =\frac{AC}{CQ}$
mà $\widehat{IAC} =\widehat{ICQ}$
$\Rightarrow\triangle IAC\sim\triangle ICQ$ (c, g, c)
$\Rightarrow \widehat{AIC} =\widehat{CIQ}$
$\Rightarrow\widehat{BIQ} =\widehat{BIA} =\widehat{CIK}$
$\Rightarrow\triangle BIQ\sim\triangle CIK$ (g, g)
mà $BQ =CK$
$\Rightarrow\triangle BIQ =\triangle CIK$
$\Rightarrow IB =IC$
gọi $G$ là giao điểm $EF, MN$, có $G$ là trung điểm $EF$
$\triangle AEF\sim\triangle ABC$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{AF}{AC} =\frac{FE}{CB} =\frac{2FG}{2CI} =\frac{FG}{CI}$
$\Rightarrow\triangle AFG\sim\triangle ACI$ (c, g, c)
$\Rightarrow\widehat{FAG} =\widehat{CAI} =\widehat{BAQ}$
$\Rightarrow Q, A, G$ thẳng hàng
$\Rightarrow NM, EF, QP$ đồng quy
c)
có $IE =\frac12BC =IF$
mà $MN$ là trung trực $EF$
$\Rightarrow MN$ đi qua điểm cố định $I$