Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHTN 2018


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 29 trả lời

#1 anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 472 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ K17-FIT-HCMUS}$
  • Sở thích:$ \textrm{GEOMETRY} $, $ \textrm{Central Intelligence Agency}$

Đã gửi 05-05-2018 - 14:02

ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHTN 2018

Ngày thi thứ nhất

Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên $a \ne 1$ sao cho:

$A=\dfrac{a^6-1}{a-1}$

là số chính phương.

Câu 2: Tìm tất cả đa thức hệ số thực $P(x)$ thỏa mãn $ P(0)=1 $ và

$ P(x^2+1)=(P(x)^2)+2xP(x)$

với mọi $x \in \mathbb{R}$

Câu 3: Cho tam giác $ ABC $ nhọn có trực tâm $ H $. Điểm $ P $ di chuyển trên cạnh $ BC $. Lấy các điểm $ Q $ và $ R $ sao cho $ PQ \perp CA, CQ \perp BC, PR \perp AB, BR \perp BC $.

a) Chứng minh rằng đường thẳng $QR $ đi qua $ H $.

b) Chứng minh rằng đường thẳng qua $ P $ vuông góc với $ QR $ luôn đi qua một điểm cố định khi $ P $ thay đổi.

Câu 4: Cho $ a,b,c $ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$ \sqrt{\dfrac{a^2+bc}{a(b+c)}}+\sqrt{\dfrac{b^2+ca}{b(c+a)}}+\sqrt{\dfrac{c^2+ab}{c(a+b)}}+\sqrt{\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}} \ge 4 $

 

 

 

 

 

Ngày thi thứ hai

Câu 5: Cho dãy số nguyên dương $ (a_n) $ thỏa mãn $a_{n+1}=a_n^3+4a_n$ với mọi $ n \ge 1 $.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $a_1$ để $ a_{2018}+2018 $ chia hết cho $ 57 $.

Câu 6: Cho tam giác $ ABC $ nhọn có trực tâm $ H $. Các điểm $ E, F $ lần lượt thuộc các đoạn thẳng $ CA, AB $ sao cho $ EF $ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ BHC $. $ K $ là tâm ngoại tiếp tam giác $ AEF $. $ KC,KB $ lần lượt cắt các đường tròn ngoại tiếp tam giác $ KAE,KAF $ theo thứ tự tại $ M,N $ khác $ K $. Chứng minh rằng $ EF $ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ AMN $.

Câu 7: Cho $ n \ge 3 $ là số nguyên dương. Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $, giả sử tồn tại một đa giác lồi $ n $ cạnh thỏa mãn các điều kiện sau:

-Mỗi đỉnh của đa giác có hoành độ, tung độ là các số hữu tỉ.

-Tất cả $ n $ cạnh của đa giác có độ dài bằng nhau.

Chứng minh rằng $ n $ là số chẵn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 06-05-2018 - 11:59


#2 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 264 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 05-05-2018 - 16:36

Chém tạm câu bất :D

Theo bất đẳng thức AM-GM:

$\sum \sqrt {\frac{{{a^2} + bc}}{{a\left( {b + c} \right)}}} = \sum \frac{{{a^2} + bc}}{{\sqrt {\left( {{a^2} + bc} \right)a\left( {b + c} \right)} }} \ge 2\sum \frac{{{a^2} + bc}}{{{a^2} + ab + bc + ca}} = 2\sum \frac{{{a^2} + bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}} = 4\frac{{ab\left( {a + b} \right) + bc\left( {b + c} \right) + ca\left( {a + c} \right)}}{{\left( {a + c} \right)\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)}} = 4 - \frac{{8{\rm{a}}bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}$

Như vậy ta chỉ cần chứng minh:

$\sqrt {\frac{{8{\rm{a}}bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}} \ge \frac{{8{\rm{a}}bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}$

Mà điều này luôn đúng do theo AM-GM:

$\frac{{8{\rm{a}}bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \le 1$

Hoàn tất chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 05-05-2018 - 16:44


#3 vophananhquan1981

vophananhquan1981

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Du
  • Sở thích:Number Theory, Volleyball, The Chess

Đã gửi 05-05-2018 - 16:52

Câu 2 

Xét deg P(x) lớn hơn bằng 3 

đặt P(x) dạng tổng quát rồi so sánh hệ số số mũ bậc lẻ của x ..
lập luận ra đưa P(x) là đa thức chỉ chứa biến x bậc chẵn....rồi sau đó so sánh hệ số của an+1

chỉ ra vô nghiệm

Xét deg P(x) = 2 tìm được nghiệm P(x) = x - x + 1 

=>..................=> đa thức có nghiệm duy nhất



#4 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 584 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality and my girl

Đã gửi 05-05-2018 - 17:21

 

ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHTN 2018

Ngày thi thứ nhất

 

Câu 3: Cho tam giác $ ABC $ nhọn có trực tâm $ H $. Điểm $ P $ di chuyển trên cạnh $ BC $. Lấy các điểm $ Q $ và $ R $ sao cho $ PQ \perp CA, CQ \perp BC, PR \perp AB, BR \perp BC $.

a) Chứng minh rằng đường thẳng $QR $ đi qua $ H $.

 

Em xin chém tạm câu 3 phần a  :D  :D

Vẽ đường tròn ngoại tiếp $(PRQ)$ cắt $BC$ tại điểm thứ 2 là $I$.

$(BRI)$ cắt $(QIC)$ tại $H'$. Ta đi chứng minh $H'$ là trực tâm và $H'$ nằm trên $QR$

Ta có: $\widehat{RH'I}=\widehat{RBI}=90^{\circ};\widehat{IH'Q}=\widehat{ICP}=90^{\circ}$

Suy ra $R, Q, H$ thẳng hàng.

Ta có:

$\widehat{RPB}=\widehat{RQI}=\widehat{H'CI}$ ( do tứ giác $RIPQ$ và $IH'QC$ nội tiếp) 

$\Rightarrow CH'\parallel PR\Rightarrow CH'\perp AB$ 

Chứng minh tương tự ta có $BH'\perp AC$ suy ra $H'$ là trực tâm tam giác ABC

Suy ra đpcm 

Hình gửi kèm

  • Untitled.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 05-05-2018 - 17:22

DK <3 BL  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :D  :D  :D  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:

$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#5 Minhnksc

Minhnksc

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 298 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Các bạn biết là từ đâu rồi đấy :D
  • Sở thích:Algebraic and enumerative combinatoric :V

Đã gửi 05-05-2018 - 17:53

Cách khác cho câu hai:
Xét dãy số $x_n$:$\left\{\begin{matrix} x_1=0\\ x_n =x_{n-1}^2 +1 \end{matrix}\right.$
Bằng quy nạp ta chứng minh được $P(x_n)=x_n^2-x_n+1$
Mặt khác; lại có $x_n$ là một dãy tăng nên đa thức $P(x)-(x^2-x+1)$ có vô hạn nghiệm thực
Vậy $P(x)=x^2-x+1$ với mọi x là số thực


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 05-05-2018 - 18:04

  :D :D  :D 

“Nhà khoa học không nghiên cứu tự nhiên vì việc đó có ích; Anh ta nghiên cứu nó vì anh ta thấy thích thú và anh ta thấy thích thú vì nó đẹp. Nếu tự nhiên không đẹp thì nó không đáng để biết, và cuộc sống không đáng để sống” :D  :D  :D 


#6 nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Châu Âu
  • Sở thích:Algebra, Combinatoric, Geometry & Number Theory

Đã gửi 05-05-2018 - 18:05

Câu 3b)

Hình gửi kèm

  • ok.jpg


#7 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 584 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality and my girl

Đã gửi 05-05-2018 - 18:35

Câu b bài hình:

Dựng hình bình hành $ABTC$. Kẻ $TK$ vuông góc với $QR$ cắt $BC$ tại $T'$.

Khi đó ta có 5 điểm $B, H, K, C, T$ thuộc 1 đường tròn. và tứ giác $RKP'B$; $QKP'C$ nội tiếp

Ta có: $\widehat{RIB}=\widehat{RHB}=\widehat{KBC}=\widehat{KQP'}$

Suy ra tứ giác $RQP'I$ nội tiếp suy ra $P\equiv P'$

Vậy đường thẳng qua $P$ vuông góc với $RQ$ đi qua điểm cố định là $T$

Hình gửi kèm

  • Untitled.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 05-05-2018 - 22:50

DK <3 BL  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :D  :D  :D  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:

$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#8 YoLo

YoLo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Nothing

Đã gửi 05-05-2018 - 21:27

Có ai biết thông tin biểu điểm không, nếu có cho mk xin với nhé


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 05-05-2018 - 21:27

Người ta không mắc sai lầm vì dốt mà là vì tưởng là mình giỏi :closedeyes:


#9 Zeref

Zeref

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 457 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai
  • Sở thích:...

Đã gửi 05-05-2018 - 21:44

 

 

Câu 3: Cho tam giác $ ABC $ nhọn có trực tâm $ H $. Điểm $ P $ di chuyển trên cạnh $ BC $. Lấy các điểm $ Q $ và $ R $ sao cho $ PQ \perp CA, CQ \perp BC, PR \perp AB, BR \perp BC $.

a) Chứng minh rằng đường thẳng $QR $ đi qua $ H $.

b) Chứng minh rằng đường thẳng qua $ P $ vuông góc với $ QR $ luôn đi qua một điểm cố định khi $ P $ thay đổi.

Bài toán có thể giải như sau:

a/$PR \cap AB =X$, $PQ \cap AC=Y$, D là chân đường cao từ A. Gọi trung điểm $AP$ là $N$ và trung điểm $BC$ là M. Dễ CM $(N)$ đi qua $X,D,Y$.

Ta sẽ CM $PQ$ là trục đẳng phương của $(N)$ và $(M)$:

$P_{R;(M)}=RB^2=RX.RP=P_{R;(N)}$ và tương tự với $Q$ $\Rightarrow$ $RQ$ là tđp của 2 đường tròn.

Đồng thời ta cũng dễ thấy $H$ có cùng phương tích tới 2 đường tròn nên $H \in RQ$

b/ Lấy đối xứng của $A$ qua $M$ là $A'$. Dễ có $MN \parallel A'P$. Mà $MN \perp RQ$ theo tính chất trục đẳng phương nên $RQ \perp A'P$. Nghĩa là đường qua $P$ và vuông góc $RQ$ đi qua điểm $A'$ cố định31913866_439061753174235_738267168799037


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeref: 05-05-2018 - 21:46


#10 tnk10a1

tnk10a1

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Đã gửi 05-05-2018 - 23:42

bài 1:

 $(a^6-1)/(a-1)= (a^3+1)(a^2+a+1)$

mà  $(a^3+1,a^2+a+1)=1$ nên $a^3+1,a^2+a+1$ là số chính phương

đặt $a^2+a+1$ = $x^2$ suy ra (2x-2a-1)(2x+2a+1)=3

suy ra a$∈{-1;0}$



#11 canletgo

canletgo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đất nhãn
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 06-05-2018 - 09:01

bài 1:

 $(a^6-1)/(a-1)= (a^3+1)(a^2+a+1)$

mà  $(a^3+1,a^2+a+1)=1$ nên $a^3+1,a^2+a+1$ là số chính phương

đặt $a^2+a+1$ = $x^2$ suy ra (2x-2a-1)(2x+2a+1)=3

suy ra a$∈{-1;0}$

Tại sao  $(a^3+1,a^2+a+1)=1$  ?


Alpha $\alpha$ 


#12 anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 472 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ K17-FIT-HCMUS}$
  • Sở thích:$ \textrm{GEOMETRY} $, $ \textrm{Central Intelligence Agency}$

Đã gửi 06-05-2018 - 12:02

Ngày thi thứ hai

 

Hình gửi kèm

  • 31957338_2675102162715133_1355422130212175872_o.jpg


#13 Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 431 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm,Vĩnh Long

Đã gửi 06-05-2018 - 13:35

Bài 5

Nhận thấy:

$53^{3}+4.53\equiv 34$ (mod $57$)

$34^{3}+4.34\equiv 53$ (mod $57$)

Ta có:

$a_{2018}+2018\vdots 57$

$<=> a_{2018}\equiv 34(mod 57)$

$<=> a_{2017}^{3}+4a_{2017}\equiv 34(mod 57)$

$<=>a_{2017}\equiv 53(mod 57)$

Bằng cách quy nạp lùi, ta chứng minh được:

$a_{2k-1}\equiv 53(mod 57)$ và $a_{2k}\equiv 34 (mod 57)$

Do đó:

$a_{1}\equiv 53 (mod57)$

Mà $a_{1}$ nhỏ nhất

$=> a_{1}=53$.


Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.


#14 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 464 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:ngắm ảnh Cr

Đã gửi 06-05-2018 - 13:47

Câu 2 

Xét deg P(x) lớn hơn bằng 3 

đặt P(x) dạng tổng quát rồi so sánh hệ số số mũ bậc lẻ của x ..
lập luận ra đưa P(x) là đa thức chỉ chứa biến x bậc chẵn....rồi sau đó so sánh hệ số của an+1

chỉ ra vô nghiệm

Xét deg P(x) = 2 tìm được nghiệm P(x) = x - x + 1 

=>..................=> đa thức có nghiệm duy nhất

bạn có thể lm rõ được ko ạ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 06-05-2018 - 14:49

 

 

 

     

      ⎝╰‿╯⎠

      ꧁༺༒༻꧂


#15 andrenguyen

andrenguyen

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng
  • Sở thích:GEOMETRY

Đã gửi 06-05-2018 - 16:10

cho em hỏi có ai làm được bài hình ngày thứ hai không?



#16 Shaddoll

Shaddoll

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Đã gửi 06-05-2018 - 16:21

:( Cắn bút bài hình ngày 2


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Shaddoll: 06-05-2018 - 16:22


#17 xuanhoan23112002

xuanhoan23112002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 06-05-2018 - 16:28

2 ngày thì mọi người làm đc mấy bài



#18 nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Châu Âu
  • Sở thích:Algebra, Combinatoric, Geometry & Number Theory

Đã gửi 06-05-2018 - 16:32

Tớ không thi nhưng đây là lời giải bài hình của tớ (Mong ad post dù e k biết latex nhưng các bạn đang cần lời giải)

Câu 2: Dạng toán này đòi hỏi cần tìm được tiếp điểm, nếu không gần như là vô vọng  :( 

* Cách dựng tiếp điểm: KR giao EF tại I, khi đó (AMN) tx EF tại I
Bước 1: (KEF) tiếp xúc (O)     
- Kéo dài BP, CP cắt (O) tại G. GF cắt LE tại R
Áp dụng định lí Pascal đảo cho (BLECGF) => GF cắt LE tại R thuộc (O) => BLG=BCP=BPE (t/x) =>EF//GL
Vì EF//GL => (REF) tx (O)
+ ERF=GRA+LRA=GCA+LBA=(180-EPC-PEC)+(180-PFB-PBF)=360+BPC-(360-AFE-AEF)=(AFE+AEF)-A(vì P thuộc (BHC))
          =180-2A=180-EKF => (KERF) đồng viên 
Đến đây có 2 hướng đi
Hướng 1: Nghịch đảo cực K phương tích KA^2 biến ABRC thành ANIM và nhờ vào tính bảo giác + bước 1 => ANIM nội tiếp và tiếp xúc EF
Hướng 2: Phát hiện 1 số tính chất, như sau (cho những bạn chưa được học về phép nghịch đảo giống mình :icon6: )
Bước 2: (AMN) đi qua I
Gọi I là giao của RK và EF
+ KA=KE=KF => RK là pg góc R. 
+ Theo bổ đề quen thuộc =>KA^2=KF^2=KE^2=KI.KR
+ KAE=KEA=KMA =>KMA~KAC =>KA^2=KM.KC
+ CMTT => KA^2=KN.KB
Vậy: KN.KB=KI.KR=KM.KC (=KA^2)
=>MIN=MIK+NIK=KCR+KBR=180-(NBA+MCA)=180-(360-NKF-BFK-CKE-KEC)=180-(KEA+KFA)+(MAE+NAF)=180-(A-MAE-NAF)=180-MAN
=>M, I, N, A đồng viên 
Bước 3: (MIN) tiếp xúc EF 
Gọi T là tâm (AMN)
Gọi giao của (AEF) và (ABC) là S
Khi đó: KS^2=KA^2=KN.KB=KM.KC =>MSN=KSM-KSN=KCS-KBS=(KCE+ECS)-(FBS-FBK)=KCE+FBK (SCE~SFB)=MAN 
=> (AMN) đi qua S => (AMN), (AEF), (ABC) đồng trục => T,K,O thẳng hàng (trung trực AS)
Ta sẽ CM TI vuông góc EF <=> TI vg GL <=>TI//OQ
<=>KT/KO=KQ/KI=KQ.KR/KI.KR=KQ.KR/KA^2=KA.KU/KA^2=KU/KA
<=>KAT=KUO=KAO <=>AK là phân giác OAT
Thật vậy: KAO=KAB-OAB=KAB-(90-C)
KAT=KAM-TAM=KAM-(90-MNA)
<=>KAB+C=KAM+MNA=KCA+MNA (KA^2=KM.KC)
<=>KAB+C=KCA+MNK+KNA=KCA+MCB+KFA (NMCB nt)
<=>KAB=KFA (đúng do KA=KF)
Vậy ta có (AMN) tiếp xúc EF tại I (ĐPCM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 06-05-2018 - 18:25


#19 nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Châu Âu
  • Sở thích:Algebra, Combinatoric, Geometry & Number Theory

Đã gửi 06-05-2018 - 16:33

Hình

Hình gửi kèm

  • ok.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 06-05-2018 - 16:34


#20 leanh9adst

leanh9adst

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định
  • Sở thích:Math

Đã gửi 06-05-2018 - 18:03

Nếu mà chứng minh được (KEF) tiếp xúc với (O) thì sau đó dùng phép nghịch đảo cực K phương tích KA^2 chứng minh được luôn EF tiếp xúc với (AMN) !

Mặt trời mọc rồi lặn,mặt trăng tròn rồi lại khuyết nhưng ánh sáng mà người thầy rọi vào ta sẽ còn mãi trong cuộc đời!





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh