Chủ đề này có 6 trả lời

[Chika Mayona]

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $2$ Gọi $M,N$ theo thứ tự là hai điểm thay đổi trên hai cạnh $AB, AD$ sao cho $AM=DN$ ($M$ không trùng với $A,B$) Biết rằng tồn tại một mặt cầu cố định có tâm thuộc đường thẳng $AC$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(A'MN)$ khi $M,N$ they đổi. Tính bán kính $R$ của mặt cầu đó?

A. $R=\sqrt{3}$

B. $R=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

C. $R=\frac{4}{3}$

D. $R=2$

 

[chanhquocnghiem]

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $2$ Gọi $M,N$ theo thứ tự là hai điểm thay đổi trên hai cạnh $AB, AD$ sao cho $AM=DN$ ($M$ không trùng với $A,B$) Biết rằng tồn tại một mặt cầu cố định có tâm thuộc đường thẳng $AC$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(A'MN)$ khi $M,N$ they đổi. Tính bán kính $R$ của mặt cầu đó?

A. $R=\sqrt{3}$

B. $R=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

C. $R=\frac{4}{3}$

D. $R=2$

Thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $O\equiv A'$ ; chiều các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt cùng chiều với các vector $\overrightarrow{A'D'},\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{A'A}$

Đặt $AM=DN=a$ ($0< a< 2$). Khi đó $M,N$ có tọa độ là $M(0;a;2),N(2-a;0;2)$

$\overrightarrow{A'M}=(0;a;2)$ ; $\overrightarrow{A'N}=(2-a;0;2)$

$\Rightarrow$ vector pháp tuyến của $(A'MN)$ là $\overrightarrow{n}=(2a;4-2a;a^2-2a)$

$\Rightarrow (A'MN):2ax+(4-2a)y+(a^2-2a)z=0$

Gọi $I$ là tâm mặt cầu cố định cần tính bán kính. Tọa độ của $I$ là $I(t;t;2)$ (vì $I\in AC$)

$R=d(I;(A'MN))=\frac{|2at+(4-2a)t+2(a^2-2a)|}{\sqrt{(2a)^2+(4-2a)^2+(a^2-2a)^2}}=\frac{|2a^2-4a+4t|}{\sqrt{a^4-4a^3+12a^2-16a+16}}=\frac{2|a^2-2a+4+(2t-4)|}{a^2-2a+4}$

$R$ phải là hằng số khi $a$ thay đổi $\Rightarrow 2t-4=0\Rightarrow t=2\Rightarrow R=2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 08-05-2018 - 06:44

[vkhoa]

Thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $O\equiv A'$ ; chiều các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt cùng chiều với các vector $\overrightarrow{A'D'},\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{A'A}$

Đặt $AM=DN=a$ ($0< a< 2$). Khi đó $M,N$ có tọa độ là $M(0;a;2),N(2-a;0;2)$

$\overrightarrow{A'M}=(0;a;2)$ ; $\overrightarrow{A'N}=(2-a;0;2)$

$\Rightarrow$ vector pháp tuyến của $(A'MN)$ là $\overrightarrow{n}=(2a;4-2a;a^2-2a)$

$\Rightarrow (A'MN):2ax+(4-2a)y+(a^2-2a)z=0$

Gọi $I$ là tâm mặt cầu cố định cần tính bán kính. Tọa độ của $I$ là $I(t;t;2)$ (vì $I\in AC$)

$R=d(I;(A'MN))=\frac{|2at+(4-2a)t+2(a^2-2a)|}{\sqrt{(2a)^2+(4-2a)^2+(a^2-2a)^2}}=\frac{|2a^2-4a+4t|}{\sqrt{a^4-4a^3+12a^2-16a+16}}=\frac{2|a^2-2a+2t|}{(2-a)^2}=\frac{2|a^2-2a+4+(2t-4)|}{(2-a)^2}$

$R$ phải là hằng số khi $a$ thay đổi $\Rightarrow 2t-4=0\Rightarrow t=2\Rightarrow R=2$.

Khi 2t-4 =0 thì $R =\frac{2|a^2-2a+4|}{(2-a)^2}$ đâu phải hằng số

[chanhquocnghiem]

Khi 2t-4 =0 thì $R =\frac{2|a^2-2a+4|}{(2-a)^2}$ đâu phải hằng số

Nhầm một tí

Khi đó thì $R=\frac{2|a^2-2a+4|}{a^2-2a+4}=2$ (là hằng số khi $a$ thay đổi)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 08-05-2018 - 06:53

[Chika Mayona]

Khi 2t-4 =0 thì $R =\frac{2|a^2-2a+4|}{(2-a)^2}$ đâu phải hằng số

Vậy là sao ạ?? Em vẫn chưa hiểu ra ý mà anh nói @@

[vkhoa]

Vậy là sao ạ?? Em vẫn chưa hiểu ra ý mà anh nói @@

Tức là R phụ thuộc vào biến a nên cũng là biến, không phải hằng số

[chanhquocnghiem]

Tức là R phụ thuộc vào biến a nên cũng là biến, không phải hằng số

Không phải, $R$ vẫn là hằng số khi $a$ thay đổi, chỉ tại mình nhầm thôi (đã sửa)