Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm $A(-4;0;2)$, $B(-2;-2;4)$ và mặt phẳng $(P): 2x+y-z-2=0$ Gọi $M(a;b;c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho tam giác MAB cân tại $M$ và có diện tích nhỏ nhất. Tính $a.b.c$
A. $a.b.c=2$
B. $a.b.c=1$
C. $a.b.c=0$
D. $a.b.c=-2$
Gọi $I$ là trung điểm của $AB\Rightarrow I(-3;-1;3)$
Gọi $\alpha$ là mặt phẳng trung trực của $AB\Rightarrow \alpha$ đi qua $I(-3;-1;3)$ và có vector pháp tuyến là $\overrightarrow{AI}=(1;-1;1)$
$\Rightarrow \alpha :1.(x+3)-1.(y+1)+1.(z-3)=0$ hay $\alpha :x-y+z-1=0$
Gọi $d=(P)\cap \alpha \Rightarrow d:\left\{\begin{matrix}2x+y-z-2=0\\x-y+z-1=0 \end{matrix}\right.$ hay $d:\left\{\begin{matrix}x=1\\y=t\\z=t \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow$ vector chỉ phương của $d$ là $(0;1;1)$
Tam giác $MAB$ cân tại $M$ và có diện tích nhỏ nhất $\Rightarrow M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $d$
Gọi $\beta$ là mặt phẳng đi qua $I$ và vuông góc với $d$ $\Rightarrow \beta :y+z-2=0$
Và $M=d\cap \beta \Rightarrow M(1;1;1)\Rightarrow a.b.c=1$.