Chủ đề này có 2 trả lời

[PhamHuyen]

Chứng minh 

1) f(x) liên tục tại x = 0 

2) Hàm không khả vi tại mọi điểm

Hình gửi kèm

• 

[An Infinitesimal]

Chứng minh 

1) f(x) liên tục tại x = 0 

2) Hàm không khả vi tại mọi điểm

1) Vì $|f(x)|\le |x| \forall x\in \mathbb{R}$ nên, theo định lý kẹp, hàm số liên tục tại $0.$

 

2)

Xét tính khả vi của $f$ tại mỗi $a\in \mathbb{R}.$

 

TH1:  $a=0.$ Đặt $g(x)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}.$ 

 

TH2: $a\neq 0.$

Xét $\left\{x_n\right\}$ hội tụ về $a$ thỏa $ x_{2n}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}, x_{2n+1}\in \mathbb{Q}.$

 

 

Khi đó, $g(x_{2n})=1,\, g(x_{2n+1})=0.$ Khi đó,

  $$\lim_{n\to\infty} g(x_{2n})=1\neq 0=\lim_{n\to\infty} g(x_{2n+1}).$$

Suy ra, $\lim_{x\to 0} g(x)$ không tồn tai. Do đó, $f$ không khả vi tại $a=0.$

TH2: $a\neq 0.$

Ta chứng minh $f$ không liên tục tại $a.$

 Xét $\left\{x_n\right\}$ hội tụ về $a$ thỏa $ x_{2n}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}, x_{2n+1}\in \mathbb{Q}.$

Khi đó, $f(x_{2n})=x_{2n},\,  g(x_{2n+1})=0.$ Khi đó,

  $$\lim_{n\to\infty} f(x_{2n})=a\neq 0=\lim_{n\to\infty} f(x_{2n+1}).$$

 

 Do đó, $f$ không liên tục tại $a\neq 0.$

Suy ra, $f$ không khả vi tại $a\neq 0.$ 

[PhamHuyen]

Em cảm ơn ạ.