Chứng minh
1) f(x) liên tục tại x = 0
2) Hàm không khả vi tại mọi điểm
Chứng minh
1) f(x) liên tục tại x = 0
2) Hàm không khả vi tại mọi điểm
1) Vì $|f(x)|\le |x| \forall x\in \mathbb{R}$ nên, theo định lý kẹp, hàm số liên tục tại $0.$
2)
Xét tính khả vi của $f$ tại mỗi $a\in \mathbb{R}.$
TH1: $a=0.$ Đặt $g(x)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}.$
TH2: $a\neq 0.$
Xét $\left\{x_n\right\}$ hội tụ về $a$ thỏa $ x_{2n}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}, x_{2n+1}\in \mathbb{Q}.$
Khi đó, $g(x_{2n})=1,\, g(x_{2n+1})=0.$ Khi đó,
$$\lim_{n\to\infty} g(x_{2n})=1\neq 0=\lim_{n\to\infty} g(x_{2n+1}).$$
TH2: $a\neq 0.$
Ta chứng minh $f$ không liên tục tại $a.$
Xét $\left\{x_n\right\}$ hội tụ về $a$ thỏa $ x_{2n}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}, x_{2n+1}\in \mathbb{Q}.$
$$\lim_{n\to\infty} f(x_{2n})=a\neq 0=\lim_{n\to\infty} f(x_{2n+1}).$$
Do đó, $f$ không liên tục tại $a\neq 0.$
Suy ra, $f$ không khả vi tại $a\neq 0.$
Đời người là một hành trình...
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh