Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTNN của: A=$\frac{y-2}{x^2}+\frac{z-2}{y^2}+\frac{x-2}{z^2}$

gt713nn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
doraemon123

doraemon123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 169 Bài viết

Cho 3 số thực dương x,y,z>1 thỏa mãn: $x+y+z=xyz$. Tìm GTNN của:

A=$\frac{y-2}{x^2}+\frac{z-2}{y^2}+\frac{x-2}{z^2}$


$\sqrt{MF}$  math is like reality that so many problem to solve $\sqrt{MATH}$

                                               (~~) (~~) :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2:  (~~) (~~) 


#2
MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 334 Bài viết

$P=\frac{b-1+a-1}{a^2}+\frac{c-1+b-1}{b^2}+\frac{a-1+c-1}{c^2}-\sum \frac{1}{a}$
=$(a-1)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2})+(b-1)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})+(c-1)(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{b^2})-\sum \frac{1}{a}$
$\geq \frac{2(a-1)}{ac}+\frac{2(b-1)}{ab}+\frac{2(c-1)}{bc}-\sum \frac{1}{a}$
$=\sum \frac{1}{a}-2 \geq \sqrt{3}-2$



#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho 3 số thực dương x,y,z>1 thỏa mãn: $x+y+z=xyz$. Tìm GTNN của:

A=$\frac{y-2}{x^2}+\frac{z-2}{y^2}+\frac{x-2}{z^2}$

Đặt $(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})\rightarrow (a,b,c)$ thì $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$

Khi đó $P=\frac{c^2(1-2a)}{a}+\frac{a^2(1-2b)}{b}+\frac{b^2(1-2c)}{c}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: $\frac{c^2(1-a)}{a}+a(1-a)\geqslant 2c(1-a)$

$\frac{a^2(1-b)}{b}+b(1-b)\geqslant 2a(1-b)$

$\frac{b^2(1-c)}{c}+c(1-c)\geqslant 2b(1-c)$

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: $(\frac{c^2(1-a)}{a}-c^2)+(\frac{a^2(1-b)}{b}-a^2)+(\frac{b^2(1-c)}{c}-b^2)\geqslant a+b+c-2(ab+bc+ca)\geqslant \sqrt{3(ab+bc+ca)}-2(ab+bc+ca)=\sqrt{3}-2$

hay $\frac{c^2(1-2a)}{a}+\frac{a^2(1-2b)}{b}+\frac{b^2(1-2c)}{c}\geqslant \sqrt{3}-2$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh