Chủ đề này có 216 trả lời

[Minhcamgia]

Bài 20 : Đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại P và Q. Qua P vẽ đường thẳng d1 bất kỳ cắt (O1) và (O2) tại A và P, đường thẳng d2 qua P cắt (O1) và (O2) tại C và D. BD cắt AC tại X. Vẽ dây PY// BD (Y $\in$ (O1)), PZ//AC (Z $\in$ (O2)). Chứng minh rằng : X, Y, Z, Q thẳng hàng.

$Y',Z'$ là giao của $QX$ và $(O_1),(O_2)$.

$\angle AQX = \angle APD = \angle ABX$ suy ra $QABX$ nội tiếp, $\angle QXC = \angle QAB = \angle QDC$ suy ra $QDXC$ nội tiếp.

$\angle PZ'Q = \angle PAQ = \angle QXC$ suy ra $PZ' \parallel BC$, suy ra $Z \equiv Z'$.

Tương tự suy ra dpcm.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 13-05-2018 - 17:37

[Minhcamgia]

Em xin góp 1 bài hình nhé : 
Bài 16 : 
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) có các đường cao BE,CF. Các tiếp tuyến tại B,C cắt nhau ở K, gọi M là giao điểm của OM với BC.
1, Chứng minh 2 tam giác AEB và CMK đồng dạng.
2, Chứng minh 2 góc BAK = MAC.
3, Gọi G là giao điểm của AM và EF, H là giao điểm của AK và BC.
Chứng minh rằng GH // OM

3. $\angle ABK = \angle AEM$ , $\frac{AE}{EM} = \frac{AB}{BK}$ suy ra $\Delta AEM \sim \Delta ABK$ có $\angle AEG = \angle ABH$ nên $GH \parallel OM$.

Hình gửi kèm

• 

[Korkot]

Bài 21 (thi PTNK 2000):

1. Cho góc xAy vuông và đường trìn (O) tiếp xúc với Ax và Ay lần lượt tại P và Q. d là 1 tiếp tuyến thay đổi của (O). Gọi a,p,q là các khoảng cách từ A,P,Q đến đường thẳng d. CM rằng $\frac{a^2}{pq}$ không đổi

2. Khẳng định trên còn đúng nếu xAy không phải góc vuông? Vì sao?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 14-05-2018 - 05:58

[buingoctu]

Bài 22: Cho (O), đường kính AB, gọi C là trung điểm AO. Qua C kẻ đường vuôn góc với OA cắt (O) tại 2 điểm M và N.Trên cung MN lớn lấy điểm K. Giao điểm của AK với MN là H

a, Tìm vị trí K để cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KMH nhỏ nhất

b, Với K thuộc cung MB, lấy I trên KN sao cho KI = KM. Chứng minh: NI=KB(sao cho K không trùng với M,B và N)

p/s: mấy má làm hình trâu vãi đạm. 

Thanks to conakun

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buingoctu: 16-05-2018 - 00:50

[Minhcamgia]

Bài 21 (thi PTNK 2000):

1. Cho góc xAy vuông và đường trìn (O) tiếp xúc với Ax và Ay lần lượt tại P và Q. d là 1 tiếp tuyến thay đổi của (O). Gọi a,p,q là các khoảng cách từ A,P,Q đến đường thẳng d. CM rằng $\frac{a^2}{pq}$ không đổi

2. Khẳng định trên còn đúng nếu xAy không phải góc vuông? Vì sao?

gọi các tiếp điểm và giao điểm như hình vẽ.

$\frac{a^2}{pq} = \frac{BD.CF}{AB.AC} = \frac{(p-b)(p-c)}{bc} = \frac{p^2 - p(b+c) + bc}{bc} = \frac{p^2 -p(b+c)}{bc} +1$ không đổi $\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2 - 2(a+b+c)(b+c)}{bc}$ không đổi

$\Leftrightarrow \frac{a^2 - (b+c)^2}{bc}$ không đổi.

$\frac{(b+c)^2 - a^2}{bc} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{bc} + 2 = 2cos \angle BAC + 2$ không đổi.

suy ra dpcm

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 13-05-2018 - 20:18

[conankun]

Bài 22: Cho (O), đường kính AB, gọi C là trung điểm AO. Qua C kẻ đường vuôn góc với OA cắt (O) tại 2 điểm M và N.Trên cung MN lớn lấy điểm K sao cho K không trùng với M,B và N. Giao điểm của AK với MN là H

a, Tìm vị trí K để cho khoảng cách từ N đến đường tròn ngoại tiếp tam giác KMH nhỏ nhất

b, Với K thuộc cung MB, lấy I trên KN sao cho KI = KM. Chứng minh: NI=KB

p/s: mấy má làm hình trâu vãi đạm.

Câu a: Gọi $(O')$ là tâm $(MKH)$. Kẻ $NQ$ vuông góc với $BM$

Ta có: $\widehat{AMC}=\widehat{MBA}=\widehat{MKA}$ suy ra: $MA$ là tt của $(O')$ 

hay $O'$ nằm trên $BM$. Mà $NO'\geq NQ$

Dấu "=" xảy ra khi $K$ là giao của $(Q,QM)$ và $(O)$

 

 

p/s: Xin lỗi vì mình không vẽ được hình

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 13-05-2018 - 20:30

[Minhcamgia]

Bài 23. Cho tam giác $ABC$ với $AD,BE,CF$ là các đường cao tương ứng. $EF$ cắt $BC$ tại $P$, $O$ là trung điểm $BC$. Biết rằng $OP = BC$. Chứng minh $DB = DO$.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 13-05-2018 - 20:39

[Minhcamgia]

Bài 24. Cho tam giác $ABC$, $M,N,P$ là các điểm bất kì trên các cạnh $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng trong các tam giác $ANP, BMP, CMN$ tồn tại một tam giác có diện tích không vượt quá $\frac{1}{4}$ diện tích tam giác $ABC$.

một kết quả khác khi $M,N,P$ là chân các đường phân giác.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 13-05-2018 - 20:36

[Khoa Linh]

Bài 23. Cho tam giác $ABC$ với $AD,BE,CF$ là các đường cao tương ứng. $EF$ cắt $BC$ tại $P$, $O$ là trung điểm $BC$. Biết rằng $OP = BC$. Chứng minh $DB = DO$.

Hai điểm D kìa. Giả sử D ở BC là K.

Ta dễ chứng minh được $KFDO$,$BFDC$ nội tiếp 

Suy ra $KP.OP=PF.PD=PB.PC$ từ đó suy ra K là trung điểm OB

[Korkot]

Bài 25 (đề chuyên toán Quốc học Huế 2001)

Tứ giác ABCD nt (O). AB và CD cắt nhau tại E; AD và BC cắt nhau tại F. Phân giác trong góc DFC cắt AB,DC tại P và Q.

a)CM $\Delta PQE $ cân

b) CM $EF^2 = FA.FD + EA.EB$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 14-05-2018 - 05:59

[Minhcamgia]

Bài 26.

Cho tứ giác $ABCD$, phân giác $\angle DAB$ và $\angle ABC$ cắt nhau tại $M$, phân giác $\angle ADC$ và $\angle CBD$ cắt nhau tại $N$, phân giác $\angle BDA$ và $\angle ADC$ cắt nhau tại $P$, phân giác $\angle ABC$ và $\angle BCD$ cắt nhau tại $Q$. 

1. Chứng minh $MPNQ$ nội tiếp.

2. $M',N',P',Q'$ là các tâm nội tiếp $MAB,NCD,PAD,QBC$, $M_1,N_1,P_1,Q_1$ là giao của $MM',NN',PP',QQ'$ với $(MNPQ)$. Chứng minh $M_1N_1 = P_1Q_1$.

                                               - Thi thái nguyên 2015 -  2016 - 

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 13-05-2018 - 21:33

[Minhcamgia]

Bài 25 (đề chuyên toán Quốc học Huế 2001)

Tứ giác ABCD nt (O). AB và CD cắt nhau tại E; AD và BC cắt nhau tại F. Phân giác trong góc DFC cắt AB,DC tại P và Q.

a)CM $\Delta PQE $ cân

b) CM $EF^2 = FA.FD + EA.EB$

a. $\angle EPQ = \angle PFB + \angle FBA = \angle FDC + \angle AFQ = \angle EQP$.

b. Gọi $(ECB)$ giao $FE$ tại $M$. dễ dàng có $M \in (FAB)$.

Suy ra $EM.EF = EA.EB  ; FM.EF = FA.FD$ suy ra dpcm

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 13-05-2018 - 21:43

[BunhiChySchwarz]

Bài 27 :
Đường tròn (O), 2 tiếp tuyến AB,AC. Đường kình BD. F là trung điểm của OB.
E thuộc OC, AE vuông góc với AB tại A. EF giao AD tại M.
Cmr góc AMF vuông
 

[BunhiChySchwarz]

OK chứ ko phải OM nhé.

a) CM OM vuông góc BC. $\Rightarrow \angle{AEB}= \angle{CMK}$

Kết hợp $\angle{BAE} = \angle{MCK}$ (hệ quả góc tạo bởi tia tt và dây AB) ta có $\Delta AEB \sim \Delta CMK$ (g-g)

b) Gọi D là trực tâm $\Delta ABC$. CM $\angle{BAD}= \angle{CAO}$ (bài này quen thuộc rồi) (1)

Ta có $OC^2= OM.OK$ (htl) $\Rightarrow OA^2=OM.OK$ (OC=OA)

Từ điều trên cm được $\Delta AOM \sim \Delta KOA$ (g-g) suy ra $\angle{OAM} = \angle{OKA}$

Mà OM // AD (cùng vuông góc với BC) nên từ ta có $\angle{MAO}= \angle{DAK}$ (2)

(1) (2) $\Rightarrow \angle{BAK}= \angle{CAM}$

c) CM được từ giác BFEC nt

$\Rightarrow \angle{ABH} = \angle{AEG}$ (góc ngoài = góc đối trong)

Kết hợp câu b) có $\Delta ABH \sim \Delta AEG$ (g-g)

$\Rightarrow \frac{AH}{AG}= \frac{AB}{AE}$ (3)

$\angle{ABK}= \angle{KBC}+\angle{ABC} = \angle{BAC} +\angle{ABC} = \angle{AMC}$

Kết hợp câu b) cm $\Delta ABK \sim \Delta AEM$

$\Rightarrow \frac{AS}{AM}= \frac{AB}{AE}$ (4)

Từ (3) (4) ta có GH // MK (định lý Ta-lét đảo) hay GH// OM 

CAO chứ bạn

[taconghoang]

Bài 28 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm I thuộc miền trong của tam giác vẽ IM,IN,IK là các đường vuông góc tới BC,CA,AB. Tìm vị trí của điểm I sao cho $IM^2+IN^2+IK^2$ bé nhất. ( Đề tuyển sinh 10 tỉnh Bình Định 2017-2018)

[Korkot]

Bài 28 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm I thuộc miền trong của tam giác vẽ IM,IN,IK là các đường vuông góc tới BC,CA,AB. Tìm vị trí của điểm I sao cho $IM^2+IN^2+IK^2$ bé nhất. ( Đề tuyển sinh 10 tỉnh Bình Định 2017-2018)

Kẻ đường cao AH. Cm được tứ giác IKAN là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) nên AI=KN và tam giác IKN vuông tại I

$\Rightarrow IK^2 + IN^2 = KN^2=AI^2$

$\Rightarrow IK^2+ IN^2 + IM^2 = AI^2+IM^2 \geq \frac{(AI+IM)^2}{2} \geq \frac{AH^2}{2}$

$\Rightarrow Min_{IK^2+IN^2+IM^2} = \frac{AH^2}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi A,I,M thẳng hàng và AI=IM hay I là trung điểm AH

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 14-05-2018 - 05:56

[thanhdatqv2003]

Góp một bài ( bài này ko khó )

 Bài 11: Từ 3 đỉnh của một tam giác hạ các đường vuông góc xuống một đường thẳng ở ngoài tam giác đó. Chứng minh rằng tổng độ dài của 3 đường vuông góc đó gấp 3 lần độ dài của đoạn thẳng vuông góc hạ từ trọng tâm của tam giác xuống cùng đường thẳng đó .

 

 

 

P/s Hoàn thành việc vẽ hình khá lâu     

  

 

( vẽ hình ko đc chuẩn lắm )

 

Giải:

Gọi P là trung điểm của OB dựng PQ và EN vuông góc với XY

 

 Vì BK // PQ // OS // AR // EN // CI

 Lại có BP=PO=OE ;;; AE=EC ( Do O là trọng tâm và theo gt)

Nên KQ=QS=SN (.................)

XÉT hình thang PQNE có OS là đường trung bình ==> 2OS=PQ+EN==> 4OS=2PQ+2EN ( t/c đường tb ...........)

XÉT tt ta có 2PQ=BK+OS ; và 2EN=AR+CI

 Suy ra: 4OS=BK+OS+AR +CI $\Rightarrow 3OI=BK+AR+CI$  (đpcm)

P/s: Sao ko ai làm bài này vậy nhỉ     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdatqv2003: 14-05-2018 - 10:45

[taconghoang]

Bài 29 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O), (I) là đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. AI cắt (O) tại A,J. E là trung điể m của BC. Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại S. AS cắt (O) tại A và D. DI cắt (O) tại D và M. Chứng minh MJ chia đôi IE.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi taconghoang: 14-05-2018 - 11:29

[Minhcamgia]

Bài 27 :
Đường tròn (O), 2 tiếp tuyến AB,AC. Đường kình BD. F là trung điểm của OB.
E thuộc OC, AE vuông góc với AB tại A. EF giao AD tại M.
Cmr góc AMF vuông
 

đường kính $CK$ , $J$ nằm trên tia đối của $EO$ sao cho $EJ = OF$, $L$ thuộc $EO$ sao cho $AL \perp AO$.

Ta có $\Delta AKO = \Delta ADO$ , $\Delta AEJ = \Delta OEF$.

dễ dàng có $E$ là tâm ngoại tiếp $\Delta OAL$ nên $CA^2 = CO.CL$ $CE = \frac{CL - CO}{2}$

suy ra $CJ = CE + EJ = \frac{CL}{2} , CK = 2CO$ suy ra $CK.CJ = CA^2$ suy ra $AK \perp AJ$

suy ra $\angle ADO + \angle EFO = \angle AKO + \angle AJO = 90$ nên $\angle AMF = 90^o$.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 14-05-2018 - 12:23

[Minhcamgia]

Bài 29 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O), (I) là đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. AI cắt (O) tại A,J. E là trung điể m của BC. Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại S. AS cắt (O) tại A và D. DI cắt (O) tại D và M. Chứng minh MJ chia đôi IE.

Untitled.png

Gọi $T$ là tâm bàng tiếp $\Delta ABC$.

Dễ dàng có $AE.AD = AB.AC = AI.AT$ $\angle IAD = \angle IAE$ suy ra $\Delta IAD \sim \Delta EAT$ nên $\angle IJM = \angle ADI = \angle ATE$ mặt khác $J$ là trung điểm $IT$ (dễ dàng chứng minh).

nên $JM$ là trung bình $\Delta IET$ suy ra dpcm

                                            - Bà rịa vũng tàu 2017 2018 - 

Hình gửi kèm

•