Bài 37. Cho điểm A cố định nằm ngoài đường tròn $\left ( O \right )$. Kẻ các tiếp tuyến AE, AF của $\left (O \right )$(E, F là các tiếp điểm). Điểm D di động trên cung lớn EF sao cho $DE< DF$, D không trùng với E và tiếp tuyến tại D của $\left ( O \right )$ cắt các tia AE, AF lần lượt tại B, C.
a) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng OB, OC. Chứng minh tứ giác BNMC nội tiếp một đường tròn.
b) Kẻ tia phân giác DK của góc EDF và tia phân giác OI của góc BOC(K thuộc EF và I thuộc BC). Chứng minh rằng OI song song với DK.
c) Chứng minh đường thẳng IK luôn đi qua một điểm cố định.
(Đề thi trường chuyên Phan Bội Châu - Tỉnh Nghệ An năm 2017 - 2018)
a) $\angle{MOB}= 180 - \angle{BOC} = 180 - \angle{BAC} - \frac{\angle{ABC}+\angle{ACB}}{2}= 90- \frac{\angle{BAC}}{2}= \angle{AEF}$
Vậy tg EMOB nt nên $\angle{OBE} = \angle{OMN} = \angle{OBC}$ (do (O) nt tam giác ABC)
$\Rightarrow$ tg MNCB nt
b) Nếu DK // OI thì $\angle{KDB}= \angle{OIB}$
$\Rightarrow \frac{180-\angle{BAC}}{4}+ 90- \frac{\angle{ABC}}{2} = \frac{\angle{ACB}}{2} + \frac{\frac{\angle{ABC}+\angle{ACB}}{2}+\angle{BAC}}{2}$
$\Rightarrow 135 = \frac{3.(\angle{BAC}+\angle{ABC}+\angle{CAB})}{4}$
Điều cuối cùng đúng nên DK// OI
c) OA cắt (O) và EF tại G và H. Vậy G là điểm giữa cung EF của (O) nên G,K,D thẳng hàng.
Cm AO vuông góc EF tại H.
DK // OI nên $\angle{DOI}= \angle{ODK} = \angle{KGH}$
Từ đó cm được $\Delta GHK \sim \Delta ODI \Rightarrow \frac{GH}{OD} = \frac{GK}{OI}$ (1)
Tam giác OFA vuông đường cao FH nên $OH.OA=OF^2$ (htl)
$\Rightarrow \frac{OF}{OA} = \frac{OH}{OF} \Rightarrow \frac{OG}{OA}= \frac{OH}{OG}$
$\Rightarrow \frac{AG}{AO} = \frac{GH}{OG}= \frac{GH}{OD}$ (2)
(1) (2) có $\frac{AL}{AO} = \frac{LK}{OI}$
Kết hợp LK// OI cm được KI luôn đi qua điểm A cố định
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 15-05-2018 - 12:13