Chủ đề này có 216 trả lời

[Minhcamgia]

Mình xin đóng góp cho TOPIC mấy bài

Bài 32: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) (AB <BD) Biết AC=CD. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABD$.Gọi giao điểm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIC$ với AB là F.E là trung điểm AD. Cmr AI vuông góc với EF

Bài 33: $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp (O), đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Vẽ dây BD cắt CH tại K nằm giữa H và C. CD cắt BE tại G. Cm EF đi qua trung điểm GK

Bài 34: Tứ giác ABCD nội tiếp (O) . AD cắt BC tại P, AC cắt BD tại Q. AB cắt CD tại M. Chứng minh MQ vuông góc với PO

bài 34. (brocard)

Gọi giao của $(AQB),(CQD)$ là $J$.

Dễ dàng chứng minh $M,Q,J$ thẳng hàng và $J \in (AOD$ , $J \in (BOC)$.

Suy ra $P,J,O$ thẳng hàng suy ra $\angle AJP = \angle QJB - \angle PJB = 180 - \angle BAQ  - \angle OBC = 90$ suy ra dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 15-05-2018 - 15:28

[Korkot]

Bài 41: Cho tam giác ABC và các điểm như hình vẽ 

a)CM rằng nếu diện tích các tam giác được tô màu đôi một bằng nhau thì diện tích các tứ giác không được tô màu cũng đôi một bằng nhau.

Câu này dành cho bạn nào có hứng thú: b)Tìm tất cả các tam giác ABC và bộ điểm D,E,F  tương ứng thỏa đk ở câu a)

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 16-05-2018 - 11:19

[taconghoang]

Bài 41: Cho tam giác ABC và các điểm như hình vẽ 

a)CM rằng nếu diện tích các tam giác được tô màu đôi một bằng nhau thì diện tích các tứ giác không được tô màu cũng đôi một bằng nhau.

Câu này dành cho bạn nào có hứng thú: b)Tìm tất cả các tam giác ABC và bộ điểm D,E,F  tương ứng thỏa đk ở câu a)

Câu a) chỉ cần chứng minh K là trung điểm CD là xong  

Ta có : $S_{IJK}=S_{CKF}\Rightarrow S_{ICJ}=S_{CFJ}\Rightarrow IF//CJ$

Áp dụng bổ đề hình thang vào hình thang JIFC => AK đi qua trung điểm L của CJ 

Tương tự ta cũng có DJ//AK => KL //DJ => K là trung điểm CD. 

P/s : sr em làm theo hình của em mọi người thông cảm vì điểm không giống đề :3 

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi taconghoang: 15-05-2018 - 16:12

[phamhuy1801]

Một số bài toán trong đây phức tạp hơn mình nghĩ   Vẫn còn nhé.

 

Bài $42$: (4 bài toán đơn giản, độc lập)

$a,$ Cho $\triangle ABC$ nội tiếp $(O)$, phân giác góc $BAC$ cắt $(O)$ tại $D$. Gọi $N, K$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ $O, D$ xuống $AC$. Chứng minh $AB=2NK$.

$b,$ Cho $(O)$ và dây cung $BC$ cố định, lấy điểm $A$ trên cung lớn $BC$. Kẻ $BD \perp AC, CE \perp AB$. $BD$ cắt đường thẳng kẻ từ $A$ vuông góc với $AB$ tại $I$, $ED$ cắt đường thẳng kẻ từ $A$ song song với $BC$ tại $M$. Chứng minh $MI$ đi qua tâm một đường tròn có đường kính cố định.

$c,$ Cho $\triangle ABC$ nhọn $(AB < AC)$, đường cao $BD, CE$ cắt nhau tại $H$. $M,N$ lần lượt là trung điểm $BD,CE$. Gọi $I$ là trực tâm $\triangle ADE$. Chứng minh $MN \perp HI$

$d,$ Cho $\triangle ABC$ nội tiếp $(O)$. $H,K$ lần lượt là trung điểm $AB, AC$. $AO$ cắt $HK$ tại $I$. $CI$ cắt $KO$ tại $E$, $BI$ cắt $OH$ tại $F$. Chứng minh $EF//KH$.

 

Bài $43$: Cho $\triangle ABC$ nhọn, đường cao $BD, CE$ cắt nhau tại $H$. Đường tròn đường kính $AB$ cắt $CE$ tại $G$, đường tròn đường kính $AC$ cắt $BD$ tại $F$. $CF$ cắt $BG$ tại $I$, $DG$ cắt $EF$ tại $K$.

a, Chứng minh $3$ điểm A,I,K cùng nằm trên đường trung trực của FG .

b, Giả sử $EF$ cắt $BG$ tại $M$, $DG$ cắt $CF$ tại $N$. Chứng minh $HI, EN, DM$ đồng quy.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamhuy1801: 16-05-2018 - 07:21

[Korkot]

Một số bài toán trong đây phức tạp hơn mình nghĩ   Vẫn còn nhé.

 

Bài $42$: (4 bài toán đơn giản, độc lập)

$a,$ Cho $\triangle ABC$ nội tiếp $(O)$, phân giác góc $BAC$ cắt $(O)$ tại $D$. Gọi $N, K$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ $O, D$ xuống $AC$. Chứng minh $AB=2NK$.

Hình vẽ bổ sung sau.

Hạ DH vuông góc AB. CM tg AHDK nt rồi suy ra $\angle{BDH}= \angle{CDK}$

Từ đó có $\Delta BDH= \Delta CDK$ (ch-gn)

Suy ra BH= CK

CM được AH=AK nên AB+DH= AC-CK

$\Rightarrow$ AC-AB= 2CK

$\Rightarrow NC-CK = \frac{AB}{2}$

$\Rightarrow 2NK=AB$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 15-05-2018 - 20:12

[Fighting 2k3]

Hình vẽ bổ sung sau.

Hạ DH vuông góc AB. CM tg AHDK nt rồi suy ra $\angle{BDH}= \angle{CDK}$

Từ đó có $\Delta BDH= \Delta CDK$ (ch-gn)

Suy ra DH= CK

CM được AH=AK nên AB+DH= AC-CK

$\Rightarrow$ AC-AB= 2CH

$\Rightarrow NC-CK = \frac{AB}{2}$

$\Rightarrow 2NK=AB$

Chỗ thứ 4 mk nghĩ là => BH=CK

CM đc AH=AK

=> AB + BH = AC -CK

<=> AC - AB = 2BH

<=> 2(NC-CK) = AB

<=> 2NK=AB

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Fighting 2k3: 15-05-2018 - 17:19

[Minhcamgia]

 

$c,$ Cho $\triangle ABC$ nhọn $(AB < AC)$, đường cao $BD, CE$ cắt nhau tại $H$. $M,N$ lần lượt là trung điểm $BD,CE$. Gọi $I$ là trực tâm $\triangle ADE$. Chứng minh $MN \perp HI$

 

 

Bài 42, c. Gọi $P$ là trung điểm $DE$.

Dễ dàng chứng minh $IEHD$ là hình bình hành. $PN \parallel AC$ , $HM \perp AC \Rightarrow PN \perp HM$.

Tương tự $PM \perp HN \Rightarrow M$ là trực tâm $\Delta HPN \Rightarrow MN \perp HI$

Bài 42, b. Bài toán gốc.

$P$ là một điểm chạy trên tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn đường kính $AB$, $C$ nằm trên $OB$, $PC$ cắt $(O)$ tại $D,E$, $BD,BE$ cắt lại $OP$ tại $G,H$. Chứng minh rằng $GAHB$ là hình bình hành.

Chứng minh.

Kẻ tiếp tuyến $AM$ thứ hai. $\angle MDB = \angle MAB = \angle MAG \Rightarrow AGDM$ nội tiếp.

$\Rightarrow \angle MBE = \angle MDP = \angle MGP \Rightarrow MGHB$ nội tiếp.

Mà $BM \parallel GH \Rightarrow GMBH$ là hình thang cân $\Rightarrow OG = OH \Rightarrow $ $dpcm$.

.

Bài 43.

a. $AF^2 = AD.AC = AE.AB = AG^2 \Rightarrow AF  = AG$ , $\angle AFE = \angle AGD \Rightarrow \triangle KFA = \triangle KGA \Rightarrow AK$ là trung trực $FG \Rightarrow A,K,I$ thẳng hàng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 17-05-2018 - 08:42

[Korkot]

Bài 44: Cho tam giác ABC nhọn, M thay đổi trên cạnh BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác  BMC cắt cạnh AC tại N

a) CM $\Delta AMN \sim \Delta ACB$. TÍnh $\frac{MA}{MB}$ để diện tích tam giác AMN bằng một nửa diện tích tam giác ACB

b) I là tâm của (AMN). Cm I nằm trên đường thẳng cố định

c) J là tâm (BMC). CM độ dài IJ không đổi

[MarkGot7]

Bài 45: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự. Đường tròn (O) đi qua B và C. Từ A, kẻ tiếp tuyến Am, AN với (O). Gọi I là trung điểm của BC. AO cắt MN tại H. NI cắt (O) tại D. CMR: Khi (O) thay đổi đi qua B, C thì N luôn thuộc một đường tròn cố định và tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta AIO$ chạy trên một đường thẳng cố định.

[Minhcamgia]

Bài 45: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự. Đường tròn (O) đi qua B và C. Từ A, kẻ tiếp tuyến Am, AN với (O). Gọi I là trung điểm của BC. AO cắt MN tại H. NI cắt (O) tại D. CMR: Khi (O) thay đổi đi qua B, C thì N luôn thuộc một đường tròn cố định và tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta AIO$ chạy trên một đường thẳng cố định.

Ta có $AH.AO = AM^2 = AB.AC \Rightarrow AN$ không đổi $\Rightarrow N \in (A;\sqrt{AB.AC})$.

Ý 2. tâm $(AIO)$ là trung điểm $O'$ của $OA$ nằm trên đường thẳng song song $OI$ cố định.\

Bài này hỏi thêm vài ý được, hỏi đến đây hơi phý.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 16-05-2018 - 09:56

[Minhcamgia]

Bài 46. Thi Nghệ An 2017 - 2018.

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A$ và $B$ . Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $M$ từ $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MC,MD$ với $(O')$, $AC,AD$ cắt $(O)$ tại $E,F$. Chứng minh rằng

1. Chứng minh rằng $CD$ đi qua trung điểm của $EF$.

2. $EF$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ di động trên tia đối của tia $AB$.

Bài 47. Thi Thanh Hóa 2017 - 2018.

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ cố định và $D$ là chân đường phân giác trong góc $A$ của tam giác. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABD$ và tam giác $ACD$.

1. Chứng minh $\angle AEO = \angle ADC$ và tứ giác $AEOF$ là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh tam giác $EOF$ là tam giác cân.

3. Khi $BC$ cố định và $A$ di động trên $(O)$, chứng minh tứ giác $AEOF$ có diện tích không đổi.

.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 15-05-2018 - 23:20

[khanhdat1]

Bài 48. Cho tam giác ABC và đường tròn nội tiếp (O) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường tròn tâm A bán kính AE cắt đường cao AH của tam giác ABC tại M (M nằm giữa A và H). Đường thẳng OM và DM cắt đường tròn (A, AE) lần lượt tại K và N. Gọi giao điểm của MO và BC là I.

         a) Chứng minh rằng ba điểm A, I, N thẳng hàng.

         b) Chứng minh rằng đường tròn đường kính AI tiếp xúc với đường tròn (O).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanhdat1: 15-05-2018 - 23:22

[khanhdat1]

Bài 49. Cho tam giác ABC có B, C cố định và điểm A thay đổi sao cho tam giác ABC nhọn không cân. Gọi D là trung điểm của BC và E, F tương ứng là hình chiếu của D trên AC, AB.

         a) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đường thẳng EF cắt AO và BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố định.

         b) Các tiếp tuyến tại E, F của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt nhau tại T. Chứng minh rằng T luôn thuộc một đường thẳng cố định.

[khanhdat1]

Mình xin đóng góp một lời giải cho bài 46. Đề thi chuyên toán Phan Bội Châu Ngh An 2017 - 2018. Do trình bày dài nên minh  xin gửi tệp đính kem

File gửi kèm

•  Lời giải bài 46..doc   344K   186 Số lần tải

[Khoa Linh]

Làm nốt bài 42:

 

 

$d,$ Cho $\triangle ABC$ nội tiếp $(O)$. $H,K$ lần lượt là trung điểm $AB, AC$. $AO$ cắt $HK$ tại $I$. $CI$ cắt $KO$ tại $E$, $BI$ cắt $OH$ tại $F$. Chứng minh $EF//KH$.

 

Áp dụng Menelaus vào hai tam giác $ABI$ và $ACI$ ta sẽ có:

 $\dfrac{FI}{BF}=\frac{IE}{EC}=\frac{IO}{AO}\Rightarrow$ $EF$ song song với $BC$ hay ta có đpcm.

p/s: Bạn (anh) phamhuy1801 lần sau đăng bài các ý không liên quan nên tách các bài ra và mình rất hoan nghênh một số bạn rất nhiệt tình làm nên thành công của TOPIC nhưng dường như các bạn vẫn chưa đọc nội quy là khi bài mình đăng và có bạn làm được thì cần phải tô đỏ. 

Ví dụ Bài 1 -> Bài 1

Mong các bạn chú ý dùm.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 16-05-2018 - 11:56

[Minhcamgia]

 

Bài 49. Cho tam giác ABC có B, C cố định và điểm A thay đổi sao cho tam giác ABC nhọn không cân. Gọi D là trung điểm của BC và E, F tương ứng là hình chiếu của D trên AC, AB.

         a) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đường thẳng EF cắt AO và BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố định.

         b) Các tiếp tuyến tại E, F của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt nhau tại T. Chứng minh rằng T luôn thuộc một đường thẳng cố định.

 

ý a.

$\angle ANM = \angle OAC + \angle EFA = \angle ADM \Rightarrow ANSM$ nội tiếp $\Rightarrow (AMN)$ đi qua $M$ cố định.

Ý b.

Gọi $ME$ cắt $AC$ tại $I$, $MF$ cắt $AB$ tại $J$, $S$ là trung điểm $IJ$.

Dễ dàng chứng minh $SE,SF$ là tiếp tuyến với $(AEF)$.

Bổ đề. Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$, $M$ là trung điểm của $BC$ ,đường thẳng qua $H$ vuông góc $HM$ cắt $AB,AC$ tại $D,E$, khi đó $HE = HD$.

Bổ đề khá quen thuộc.

Áp dụng bổ đề suy ra $SB = SC \Rightarrow S$ thuộc trung trực $BC$.

một cách chứng minh bổ đề.

Qua $C$ kẻ song song $DE$ cắt $AB$ tại $K$, $AH$ cắt $CK$ tại $N$.

Dễ dàng chứng minh $M$ là trực tâm $\triangle HCN \Rightarrow NM \parallel AB \Rightarrow NC = NK \Rightarrow HD = HE$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 16-05-2018 - 11:41

[thanhdatqv2003]

Bài 50:  Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong 1 đường tròn và ngoại tiếp một đường tròn khác , các tiếp điểm lần lượt là E,F,G,H. 

C/m: EG vuông góc với FH 

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdatqv2003: 17-05-2018 - 21:36

[Minhcamgia]

Bài 50:  Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong 1 đường tròn và ngoại tiếp một đường tròn khác , các tiếp điểm lần lượt là E,F,G,H. 

C/m: EG vuông góc với FH 

Cộng góc suy ra $\angle HGE + \angle GHF = \angle AHE  +\angle CGF = 90 \Rightarrow EG \perp FH$.

[Korkot]

Bài 51: Tìm kích thước của tam giác có diện tích lớn nhất nội tiếp trong đường tròn (O;R) cho trước

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 16-05-2018 - 11:47

[khanhdat1]

Bài 52. Cho điểm A thuộc đường tròn tâm O đường kính BC (A khác B và C). Vẽ đường tròn tâm A tiếp xúc với BC tại H, cắt đường tròn (O) tại E và F. Gọi I là trung điểm của HC, D là hình chiếu của I trên EF. Đường tròn đường kính AH cắt đường tròn (O) tại G.

         a) Chứng minh rằng các đường thẳng AG, EF, AB đồng quy.

         b) Chứng minh rằng ba điểm A, D, C thẳng hàng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanhdat1: 16-05-2018 - 12:11