Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] HÌNH HỌC ÔN THI VÀO THPT CHUYÊN 2018-2019

hình học cực trị hình học đặc tính hình học quỹ tích

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 217 trả lời

#61 Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-05-2018 - 12:22

Bài 30. thi tphcm 2015 - .2016

Cho tam giác $ABC$   có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$  . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $N$ là điểm đối xứng với $M$ qua $O$. Qua $A$ vẽ đường thẳng vuông góc với $AN$  cắt đường thẳng qua $B$ vuông góc $BC$ tại $D$. Kẻ dường kính $AE$ của $(O)$. Chứng minh rằng.

1. $BA.BC = 2BD.BE$

2.  $BD$ đi qua trung điểm của dường cao $AH$ của tam giác $ABC$  .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 16-05-2018 - 11:45


#62 Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-05-2018 - 12:28

Bài 26.

Cho tứ giác $ABCD$, phân giác $\angle DAB$ và $\angle ABC$ cắt nhau tại $M$, phân giác $\angle ADC$ và $\angle CBD$ cắt nhau tại $N$, phân giác $\angle BDA$ và $\angle ADC$ cắt nhau tại $P$, phân giác $\angle ABC$ và $\angle BCD$ cắt nhau tại $Q$. 

1. Chứng minh $MPNQ$ nội tiếp.

2. $M',N',P',Q'$ là các tâm nội tiếp $MAB,NCD,PAD,QBC$, $M_1,N_1,P_1,Q_1$ là giao của $MM',NN',PP',QQ'$ với $(MNPQ)$. Chứng minh $M_1N_1 = P_1Q_1$.

                                               - Thi thái nguyên 2015 -  2016 - 

1. Chứng minh tổng hai góc đối.

2. Chứng minh được $MM_1,NN_1,PP_1,QQ_1$ là các phân giác tương ứng nên$M_1$ là điểm chính giữa cung $QP$, tương tự với các điểm còn lại. cuối cùng suy ra dpcm

Hình gửi kèm

  • diendan(75).PNG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 16-05-2018 - 11:46


#63 taconghoang

taconghoang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Hình học phẳng , my girl <3

Đã gửi 14-05-2018 - 12:42

1. Chứng minh tổng hai góc đối.

2. Chứng minh được $MM_1,NN_1,PP_1,QQ_1$ là các phân giác tương ứng nên $M_1N_1,P_1Q_1$ là các đường kính của $(MNPQ)$.

Câu 2. Phải chứng minh nó là trục đối xứng trước rồi mới suy ra được nó là đường kính chứ ? 



#64 Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-05-2018 - 17:59

Bài 31. Từ $A$ nằm ngoài $(O)$ kẻ $AB,AC$ là tiếp tuyến, kẻ đường kính $BD$, gọi $E$ là hình chiếu của $C$ trên $BD$, $F$ là giao của $CE$ và $AD$. Chứng minh rằng $F$ là trung điểm $CE$.

Hình gửi kèm

  • diendan(80).PNG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 16-05-2018 - 11:46


#65 conankun

conankun

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-05-2018 - 19:04

Gọi giao của $CD$ với $AB$ là $I$, giao của $BC$ và $OA$ là $H$

Ta có: $OA // DI$ (Cùng vuông góc với $BC$), $BO=OD$ suy ra: $OA$ là đường trung bình của tam giác $BDI$

hay $AB=BI$

Mà $CE$ vuông góc với $AB$ suy ra: $\frac{CF}{EF}\doteq \frac{AI}{AB}=1\Rightarrow CF=EF$

Bài 31. Từ $A$ nằm ngoài $(O)$ kẻ $AB,AC$ là tiếp tuyến, kẻ đường kính $BD$, gọi $E$ là hình chiếu của $C$ trên $BD$, $F$ là giao của $CE$ và $AD$. Chứng minh rằng $F$ là trung điểm $CE$.

Hình gửi kèm

  • hình.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 14-05-2018 - 19:07

                       $\large \mathbb{Conankun}$


#66 Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-05-2018 - 19:11

Gọi giao của $CD$ với $AB$ là $I$, giao của $BC$ và $OA$ là $H$

Ta có: $OA // DI$ (Cùng vuông góc với $BC$), $BO=OD$ suy ra: $OA$ là đường trung bình của tam giác $BDI$

hay $AB=BI$

Mà $CE$ vuông góc với $AB$ suy ra: $\frac{CF}{EF}\doteq \frac{AI}{AB}=1\Rightarrow CF=EF$

cách khác.

$M$ là trung điểm của $BC$.

Ta có $\Delta BCD \sim \Delta ACO$ nên $\frac{DE}{DB} = \frac{DF}{DA} = \frac{OM}{OA}$ suy ra $MF \parallel BD$ nên $F$ là trung điểm $CE$.

Hình gửi kèm

  • diendan(81).PNG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 17-05-2018 - 08:42


#67 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 335 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-05-2018 - 19:29

Mình xin đóng góp cho TOPIC mấy bài

Bài 32: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) (AB <BD) Biết AC=CD. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABD$.Gọi giao điểm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIC$ với AB là F.E là trung điểm AD. Cmr AI vuông góc với EF

Bài 33: $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp (O), đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Vẽ dây BD cắt CH tại K nằm giữa H và C. CD cắt BE tại G. Cm EF đi qua trung điểm GK

Bài 34: Tứ giác ABCD nội tiếp (O) . AD cắt BC tại P, AC cắt BD tại Q. AB cắt CD tại M. Chứng minh MQ vuông góc với PO


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 14-05-2018 - 21:17


#68 conankun

conankun

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-05-2018 - 20:07

Bài 30. thi tphcm 2015 - .2016

Cho tam giác $ABC$   có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$  . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $N$ là điểm đối xứng với $M$ qua $O$. Qua $A$ vẽ đường thẳng vuông góc với $AN$  cắt đường thẳng qua $B$ vuông góc $BC$ tại $D$. Kẻ dường kính $AE$ của $(O)$. Chứng minh rằng.

1. $BA.BC = 2BD.BE$

2.  $AD$ đi qua trung điểm của dường cao $AH$ của tam giác $ABC$  .

1. Gọi giao của $AN$ với $BC$ là $F$

Ta có: Dễ dàng chứng minh $ AN//ME\Rightarrow \widehat{NFM}=\widehat{FME}\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{BME}$

Lại có: $\widehat{DBA}=\widehat{CBE}$ nên $\Delta ADB\sim \Delta EMB(g.g)\Rightarrow AB.BM=BE.BD\Rightarrow AB.BC=2BE.BD$

2. Bạn xem lại đề cái.

 

p/s: Cảm thấy vẽ hình lên tay :v

Hình gửi kèm

  • geogebra-export.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 14-05-2018 - 20:16

                       $\large \mathbb{Conankun}$


#69 Korkot

Korkot

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 14-05-2018 - 20:19

1. Gọi giao của $AN$ với $BC$ là $F$

Ta có: Dễ dàng chứng minh $ AN//ME\Rightarrow \widehat{NFM}=\widehat{FME}\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{BME}$

Lại có: $\widehat{DBA}=\widehat{CBE}$ nên $\Delta ADB\sim \Delta EMB(g.g)\Rightarrow AB.BM=BE.BD\Rightarrow AB.BC=2BE.BD$

2. Bạn xem lại đề cái.

2. Phải là CD mới đúng nha :)

Gọi F là giao của BD và AC. Vì BD.BE = AB.BM (cmt) nên $\frac{BD}{BA}= \frac{BM}{BE}$

Mà tam giác BDM và BAE vuông tại B nên $\Delta BDM \sim \Delta BAE$ 

$\Rightarrow \angle{BMD} = \angle{BEA} = \angle{BCF}$ nên MD // CF 

Mà M là trung điểm BC nên D là trung điểm BF.

CD cắt AH tại G. Áp dụng bổ đề hình thang suy ra G là trung điểm AH

P\S trên hình của mình M' là N nha

Hình gửi kèm

  • geogebra-export.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 14-05-2018 - 20:33

  Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một  cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.

                   :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like 


#70 phamhuy1801

phamhuy1801

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-05-2018 - 20:53

Bài $35$: Cho $\triangle ABC$ nhọn. Đường tròn $(O; \dfrac{BC}{2} )$ cắt $AB, AC$ thứ tự tại $E,D$. Các tiếp tuyến kẻ từ $E,D$ của $(O)$ cắt nhau tại $I$ và lần lượt cắt tiếp tuyến kẻ từ $B, C$ của $(O)$ tại $F,G$. $FG$ cắt $AI$ tại $H$ và cắt $(O)$ tại $M,N$. Chứng minh $H$ là trực tâm của $\triangle ABC $ và $MA, NA$ lần lượt các tiếp tuyến của $(O)$.
 
32416434_377856542717773_785201938761043
Bài $36$: Từ điểm $M$ ngoài $(O)$, vẽ tiếp tuyến $MA, MB$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp $\triangle ABM$ tiếp xúc với $AB, AM$ lần lượt tại $H,G$ ; $(I)$ cắt $(O)$ tại $P,R$ ($P$ nằm trên nửa mặt phẳng bờ $OM$ chứa $A$), $AR$ cắt $(I)$ tại $Q$. Chứng minh $PR, AI, HG$ đồng quy và $\triangle APQ$ cân.
 
32545777_377856576051103_620914316652052
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamhuy1801: 14-05-2018 - 21:15


#71 khanhdat1

khanhdat1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Đã gửi 14-05-2018 - 23:18

Bài 37. Cho điểm A cố định nằm ngoài đường tròn $\left ( O \right )$. Kẻ các tiếp tuyến AE, AF của $\left (O \right )$(E, F là các tiếp điểm). Điểm D di động trên cung lớn EF sao cho $DE< DF$, D không trùng với E và tiếp tuyến tại D của  $\left ( O \right )$ cắt các tia AE, AF lần lượt tại B, C.

             a) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng OB, OC. Chứng minh tứ giác BNMC nội tiếp một đường tròn.

             b) Kẻ tia phân giác DK của góc EDF và tia phân giác OI của góc BOC(K thuộc EF và I thuộc BC). Chứng minh rằng OI song song với DK.

             c) Chứng minh đường thẳng IK luôn đi qua một điểm cố định.

(Đề thi trường chuyên Phan Bội Châu - Tỉnh Nghệ An năm 2017 - 2018)

 


#72 khanhdat1

khanhdat1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Đã gửi 14-05-2018 - 23:22

Bài 38. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và P là một điểm trên đoạn BC (P khác B, C). Đường thẳng AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC tại T khác H. Đường thẳng PT cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC tại K khác T. Giả sử BK cắt AC tại M và CK cắt AB tại N. Gọi X, Y lần lượt là trung điểm của BN, CM.

         a) Chứng minh rằng tứ giác ANKM nội tiếp đường tròn.

         b) Chứng minh rằng góc XPY có số đo không đổi khi P di động trên BC.



#73 Korkot

Korkot

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 15-05-2018 - 06:06

 

Bài 37. Cho điểm A cố định nằm ngoài đường tròn $\left ( O \right )$. Kẻ các tiếp tuyến AE, AF của $\left (O \right )$(E, F là các tiếp điểm). Điểm D di động trên cung lớn EF sao cho $DE< DF$, D không trùng với E và tiếp tuyến tại D của  $\left ( O \right )$ cắt các tia AE, AF lần lượt tại B, C.

             a) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng OB, OC. Chứng minh tứ giác BNMC nội tiếp một đường tròn.

             b) Kẻ tia phân giác DK của góc EDF và tia phân giác OI của góc BOC(K thuộc EF và I thuộc BC). Chứng minh rằng OI song song với DK.

             c) Chứng minh đường thẳng IK luôn đi qua một điểm cố định.

(Đề thi trường chuyên Phan Bội Châu - Tỉnh Nghệ An năm 2017 - 2018)

 

a) $\angle{MOB}= 180 - \angle{BOC} = 180 - \angle{BAC} - \frac{\angle{ABC}+\angle{ACB}}{2}= 90- \frac{\angle{BAC}}{2}= \angle{AEF}$

Vậy tg EMOB nt nên $\angle{OBE} = \angle{OMN} = \angle{OBC}$ (do (O) nt tam giác ABC)

$\Rightarrow$ tg MNCB nt

b) Nếu DK // OI thì $\angle{KDB}= \angle{OIB}$

$\Rightarrow \frac{180-\angle{BAC}}{4}+ 90- \frac{\angle{ABC}}{2} = \frac{\angle{ACB}}{2} + \frac{\frac{\angle{ABC}+\angle{ACB}}{2}+\angle{BAC}}{2}$

$\Rightarrow 135 = \frac{3.(\angle{BAC}+\angle{ABC}+\angle{CAB})}{4}$

Điều cuối cùng đúng nên DK// OI

c) OA cắt (O) và EF tại G và H. Vậy G là điểm giữa cung EF của (O) nên G,K,D thẳng hàng.

Cm AO vuông góc EF tại H.

DK // OI nên $\angle{DOI}= \angle{ODK} = \angle{KGH}$

Từ đó cm được $\Delta GHK \sim \Delta ODI \Rightarrow \frac{GH}{OD} = \frac{GK}{OI}$ (1)

Tam giác OFA vuông đường cao FH nên $OH.OA=OF^2$ (htl)

$\Rightarrow \frac{OF}{OA} = \frac{OH}{OF} \Rightarrow \frac{OG}{OA}= \frac{OH}{OG}$

$\Rightarrow \frac{AG}{AO} = \frac{GH}{OG}= \frac{GH}{OD}$ (2)

(1) (2) có $\frac{AL}{AO} = \frac{LK}{OI}$

Kết hợp LK// OI cm được KI luôn đi qua điểm A cố định

Hình gửi kèm

  • geogebra-export (1).png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 15-05-2018 - 12:13

  Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một  cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.

                   :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like 


#74 taconghoang

taconghoang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Hình học phẳng , my girl <3

Đã gửi 15-05-2018 - 11:05

Bài 39: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ có các đường cao $BE,CF$. $M$ là trung điểm $BC$, $AM$ cắt $EF$ tại $N$. Kẻ $NX \perp BC$, $XY \perp AB$ , $XZ \perp AC$. Chứng minh $N$ là trực tâm của tam giác $AYZ$.

Hình gửi kèm

  • 32085721_1930024837328335_597473639280934912_n.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi taconghoang: 16-05-2018 - 12:10


#75 taconghoang

taconghoang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Hình học phẳng , my girl <3

Đã gửi 15-05-2018 - 11:09

 

Bài $35$: Cho $\triangle ABC$ nhọn. Đường tròn $(O; \dfrac{BC}{2} )$ cắt $AB, AC$ thứ tự tại $E,D$. Các tiếp tuyến kẻ từ $E,D$ của $(O)$ cắt nhau tại $I$ và lần lượt cắt tiếp tuyến kẻ từ $B, C$ của $(O)$ tại $F,G$. $FG$ cắt $AI$ tại $H$ và cắt $(O)$ tại $M,N$. Chứng minh $H$ là trực tâm của $\triangle ABC $ và $MA, NA$ lần lượt các tiếp tuyến của $(O)$.
 
32416434_377856542717773_785201938761043
Bài $36$: Từ điểm $M$ ngoài $(O)$, vẽ tiếp tuyến $MA, MB$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp $\triangle ABM$ tiếp xúc với $AB, AM$ lần lượt tại $H,G$ ; $(I)$ cắt $(O)$ tại $P,R$ ($P$ nằm trên nửa mặt phẳng bờ $OM$ chứa $A$), $AR$ cắt $(I)$ tại $Q$. Chứng minh $PR, AI, HG$ đồng quy và $\triangle APQ$ cân.
 
32545777_377856576051103_620914316652052
 

 

Bài 35 đơn giản lại như sau : Cho tam giác ABC, đường tròn (O;BC/2) cắt AB AC tại E F. H là trực tâm tam giác ABC. I là trung điểm AH.Từ A vẽ các tiếp tuyến AM,AN. Chứng minh IE IF là các tiếp tuyến của (O) và M,N,H thẳng hàng

Bài này quen quá rồi :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi taconghoang: 15-05-2018 - 11:14


#76 conankun

conankun

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-05-2018 - 11:38

Bài $36$: Từ điểm $M$ ngoài $(O)$, vẽ tiếp tuyến $MA, MB$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp $\triangle ABM$ tiếp xúc với $AB, AM$ lần lượt tại $H,G$ ; $(I)$ cắt $(O)$ tại $P,R$ ($P$ nằm trên nửa mặt phẳng bờ $OM$ chứa $A$), $AR$ cắt $(I)$ tại $Q$. Chứng minh $PR, AI, HG$ đồng quy và $\triangle APQ$ cân.

 
32545777_377856576051103_620914316652052

 

Ý 1: Chứng minh đồng quy. 

Dễ dàng chứng minh $I$ là giao của $OM$ với $(O)$, $H$ là giao của $OM$ và $AB$

Theo t.c 2 tt cắt nhau ta có: $AI$ đi qua trung điểm của $HG$ $(1)$

Gọi giao của $PR$ với $AM$ là $S$ là có $SA^2=SG^2=SP.SR$ suy ra: $SA=SR$

Mà $PR//AB$ suy ra $PR$ đi qua trung điểm của $HG$ $(2)$

Từ $(1)(2)$ suy ra đpcm

Ý 2: Ta có: $\widehat{PIA}=\widehat{PRQ}=\frac{1}{2}\widehat{PIQ}\Rightarrow \widehat{PIA}=\widehat{AIQ}$

Tương tự: $\widehat{PAI}=\widehat{IAQ}\Rightarrow \Delta API=\Delta AIQ(g.c.g)\Rightarrow AP=AQ$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 15-05-2018 - 13:33

                       $\large \mathbb{Conankun}$


#77 duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái dương hệ
  • Sở thích:số học & piano

Đã gửi 15-05-2018 - 12:05

Mình xin đóng góp cho TOPIC mấy bài

Bài 32: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) (AB <BD) Biết AC=CD. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABD$.Gọi giao điểm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIC$ với AB là F.E là trung điểm AD. Cmr AI vuông góc với EF

 

Gọi $J$ là điểm chính giữa cung $AD$ ko chứa $B$ thì $J,E,O,C$ thẳng hàng và $CJ \bot AD $ tại $E$, đồng thời $B,I,J$ thẳng hàng

Khi đó $\widehat{IFC}=\widehat{IBC}=90^0$. Ta có: $JI^2=JA^2=JE.JC \Rightarrow \triangle JIE \sim JCI$.Suy ra $\frac{EI}{CI}=\frac{JE}{JI}=\frac{JE}{JA}$

Chứng minh được $\triangle IFC \sim \triangle AJE$ nên $\frac{IF}{IC}=\frac{JE}{JA}$

Từ đó $IF=IE$ nên ta có đpcm

 

ảnh.jpg


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 15-05-2018 - 12:46

Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 


#78 Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-05-2018 - 13:04

 

Bài $35$: Cho $\triangle ABC$ nhọn. Đường tròn $(O; \dfrac{BC}{2} )$ cắt $AB, AC$ thứ tự tại $E,D$. Các tiếp tuyến kẻ từ $E,D$ của $(O)$ cắt nhau tại $I$ và lần lượt cắt tiếp tuyến kẻ từ $B, C$ của $(O)$ tại $F,G$. $FG$ cắt $AI$ tại $H$ và cắt $(O)$ tại $M,N$. Chứng minh $H$ là trực tâm của $\triangle ABC $ và $MA, NA$ lần lượt các tiếp tuyến của $(O)$.
 
32416434_377856542717773_785201938761043
Bài $36$: Từ điểm $M$ ngoài $(O)$, vẽ tiếp tuyến $MA, MB$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp $\triangle ABM$ tiếp xúc với $AB, AM$ lần lượt tại $H,G$ ; $(I)$ cắt $(O)$ tại $P,R$ ($P$ nằm trên nửa mặt phẳng bờ $OM$ chứa $A$), $AR$ cắt $(I)$ tại $Q$. Chứng minh $PR, AI, HG$ đồng quy và $\triangle APQ$ cân.
 
32545777_377856576051103_620914316652052
 

 

bài 36.b

Dễ dàng có $\angle AIP = \angle ARP = \frac{1}{2} \angle KIP$ nên $IA$ là trung trực $KP$ suy ra dpcm.

diendan(82).PNG

Mở rộng bài 35. 

Bài 40. Từ $A$ nằm ngoài $(O)$ kẻ hai cát tuyến $ABC$ và $ADE$. Chứng minh rằng  $I$ là giao của $BE$ và $CE$ chạy trên một đường cố định khi cát tuyến thay đổi..

diendan(83).PNG


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 15-05-2018 - 13:24


#79 Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-05-2018 - 13:56

 

Bài 38. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và P là một điểm trên đoạn BC (P khác B, C). Đường thẳng AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC tại T khác H. Đường thẳng PT cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC tại K khác T. Giả sử BK cắt AC tại M và CK cắt AB tại N. Gọi X, Y lần lượt là trung điểm của BN, CM.

         a) Chứng minh rằng tứ giác ANKM nội tiếp đường tròn.

         b) Chứng minh rằng góc XPY có số đo không đổi khi P di động trên BC.

 

Gọi $L$ là trung điểm của $BC$. $\angle PKC = \angle CHT = \angle ABC$ suy ra $MKPC$ nội tiếp, tương tự $NKPB$ nội tiếp.

suy ra $\angle BAC = \angle MKC = \angle MPC$ suy ra $\Delta PCM \sim \Delta CAB$ có $PY,LA$ là các đường trung tuyến tương ứng nên $\angle YPL = \angle IAL$ nên $APLY$ nội tiếp, mặt khác $AXPY$ nội tiếp nên $A,X,P,L,Y$ đồng viên. suy ra dpcm

diendan(84).PNG


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 16-05-2018 - 11:47


#80 duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái dương hệ
  • Sở thích:số học & piano

Đã gửi 15-05-2018 - 14:02

Bài 33:

 Gọi $T$ là giao điểm $EF$ và $GK$. Ta có $\triangle BFK \sim \triangle CEG$ và $\triangle BFH \sim \triangle CEH$ nên:

$\frac{FK}{GE}=\frac{BF}{CE}=\frac{FH}{HE}$. Áp dụng định lý $Menelaus$ cho tam giác $GHK$ cát tuyến $F;E;T$ thì 

$\frac{TG}{TK}.\frac{EH}{EG}.\frac{FK}{FH}=1 $ suy ra $TK =TG$

p/s: post hình sau


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 15-05-2018 - 14:06

Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh