Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] HÌNH HỌC ÔN THI VÀO THPT CHUYÊN 2018-2019

hình học cực trị hình học đặc tính hình học quỹ tích

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 216 trả lời

#101 khanhdat1

khanhdat1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Đã gửi 16-05-2018 - 12:11

Bài 53. Cho đường tròn tâm O. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến MA, MC (A, C là tiếp điểm), B thuộc cung lớn AC sao cho MB nằm giữa MO và MC. Tia MB cắt đường tròn tại Q khác B, cắt CA tại N.

        a) Gọi T là trung điểm của BQ. Chứng minh rằng MQ.MB=MN.MT

        b) Gọi K là điểm đối xứng với C qua B. Qua Q kẻ đường thẳng song song với BC cắt CM tại H. Chứng minh rằng QH, AC, MK đồng quy.



#102 taconghoang

taconghoang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 119 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Hình học phẳng , my girl <3

Đã gửi 16-05-2018 - 12:27

Bài 51: Tìm kích thước của tam giác có diện tích lớn nhất nội tiếp trong đường tròn (O;R) cho trước

Gọi D là điểm chính giữa cung BC chứa A. E là trung điểm BC 

Ta có : 

$S_{ABC}\leq S_{DBC}=DE.CE=\sqrt{R^2-OE^2}.(R+OE)=\sqrt{(R+OE)^3(R-OE)}=\frac{\sqrt{(R+OE)(R+OE)(R+OE)(3R-3OE)} }{\sqrt{3}}\leq \frac{3\sqrt{3}R^2}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A trùng D và 3R-3OE=R+OE => R=2OE => AB=AC=CB

Hình gửi kèm

  • Untitled.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi taconghoang: 16-05-2018 - 16:33


#103 Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-05-2018 - 13:35

Bài 52. Cho điểm A thuộc đường tròn tâm O đường kính BC (A khác B và C). Vẽ đường tròn tâm A tiếp xúc với BC tại H, cắt đường tròn (O) tại E và F. Gọi I là trung điểm của HC, D là hình chiếu của I trên EF. Đường tròn đường kính AH cắt đường tròn (O) tại G.

         a) Chứng minh rằng các đường thẳng AG, EF, AB đồng quy.

         b) Chứng minh rằng ba điểm A, D, C thẳng hàng.

a) Gọi $AH$ giao $EF$ tại $S$, cắt $(O)$ tại $K$ và cắt $(A)$ tại $J$, $AC$ cắt đường tròn đường kính $AH$ tại $D'$, $EF$ cắt $BC$ tại $T$, $TA$ cắt $(O)$ tại $G'$..

Ta có $AJ = AH = HK$ , $EF$ là trục đẳng phương của $(O)$ và $(A) \Rightarrow SH.SJ  = SA.SK \Rightarrow \frac{SA}{SJ} = \frac{SH}{SK} = \frac{SA+SH}{SJ+SK} = \frac{AH}{KJ} = \frac{1}{3} \Rightarrow SA = SH.$

$SH^2 = SE.SF = SB.SC = SA.SG' \Rightarrow G$ nằm trên đường tròn $(S)$ nên $G \equiv G$.

Suy ra $AG,EF,BC$ đồng quy.

ý b.

Ta có $CD'.CA = CH^2 \Rightarrow HD' \perp AC \Rightarrow ID' \perp SD' \Rightarrow D' \equiv D \Rightarrow$ $dpcm$.

diendan(96).PNG



#104 Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-05-2018 - 14:56

Bài 53. Cho đường tròn tâm O. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến MA, MC (A, C là tiếp điểm), B thuộc cung lớn AC sao cho MB nằm giữa MO và MC. Tia MB cắt đường tròn tại Q khác B, cắt CA tại N.

        a) Gọi T là trung điểm của BQ. Chứng minh rằng MQ.MB=MN.MT

        b) Gọi K là điểm đối xứng với C qua B. Qua Q kẻ đường thẳng song song với BC cắt CM tại H. Chứng minh rằng QH, AC, MK đồng quy.

a) $O,T,C,M,A$ thuộc đường tròn đường kính $OM \Rightarrow \angle NCM = \angle CTM \Rightarrow MN.MT = MC^2 = MQ.MB$.

b) $QH$ cắt $AC$ tại $S$.

Dễ dàng chứng minh $CN$ là đường đối trung trong $\triangle QCB \Rightarrow \frac{QN}{NB} = \frac{QC^2}{BC^2} = \frac{MQ}{MB} \Rightarrow \frac{QS}{BC} = \frac{QH}{BC} \Rightarrow M,S,K$ thẳng hàng $\Rightarrow $ dpcm.diendan(97).PNG


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 16-05-2018 - 14:56


#105 Nguyen Xuan Hieu

Nguyen Xuan Hieu

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 39 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Nguyễn Chí Thanh

Đã gửi 16-05-2018 - 14:58

Bài 53. Cho đường tròn tâm O. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến MA, MC (A, C là tiếp điểm), B thuộc cung lớn AC sao cho MB nằm giữa MO và MC. Tia MB cắt đường tròn tại Q khác B, cắt CA tại N.

        a) Gọi T là trung điểm của BQ. Chứng minh rằng MQ.MB=MN.MT

        b) Gọi K là điểm đối xứng với C qua B. Qua Q kẻ đường thẳng song song với BC cắt CM tại H. Chứng minh rằng QH, AC, MK đồng quy.

a)$MQ.MB=MA^2$(Do tam giác $MAQ$ đồng dạng tam giác $MBA$)

Mặt khác do $T$ là trung điểm $BQ$ nên $\widehat{OTQ}=90^0$. Từ đó suy ra 5 điểm $M,A,T,O,C$ thuộc một đường tròn.

$\Rightarrow \widehat{MAC}=\widehat{MCA}=\widehat{ATM}$

Từ đó $\Delta MAN \sim \Delta MTA \Rightarrow MN.MT=MA^2$

Do đó $MN.MT=MQ.MB$

b)Tứ giác $AQCB$ điều hòa

$\Rightarrow QB.AC=2AB.QC(*)$
Gọi $W$ là giao điểm của $AC$ và $MK$

$\Rightarrow Q$ là trung điểm của $HW$(Do $HW \parallel CK$ và $BC=BK$)

Gọi $W'$ là giao điểm của $AC$ và $HQ$

$\Delta HQC \sim \Delta QCB \Rightarrow HQ/HC=QC/QB$

$\Delta HCW' \sim \Delta ABC \Rightarrow HW'/HC=AC/AB$

Do (*) $\Rightarrow HW'=2HQ$

Do đó $Q$ là trung điểm $HW'$

Từ đó suy ra $W' \equiv W$(DPCM)
Hình gửi kèm32549691_2057605344510326_50235186255757
 



#106 Korkot

Korkot

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 16-05-2018 - 15:09

 

Bài 48. Cho tam giác ABC và đường tròn nội tiếp (O) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường tròn tâm A bán kính AE cắt đường cao AH của tam giác ABC tại M (M nằm giữa A và H). Đường thẳng OM và DM cắt đường tròn (A, AE) lần lượt tại K và N. Gọi giao điểm của MO và BC là I.

         a) Chứng minh rằng ba điểm A, I, N thẳng hàng.

         b) Chứng minh rằng đường tròn đường kính AI tiếp xúc với đường tròn (O).

 

a) Lấy G trên ND cho GA $\bot$ ND. Cm được $\angle{GAM}=\angle{MDH}$

Ta có $\angle{NKF}=180-\frac{\angle{NAM}}{2}=180-\angle{GAM}=180-\angle{MDH}=\angle{NDI}$

nên tg NKDI nt $\Rightarrow \angle{DNI}=\angle{DKI}$ (1)

Ta cm được $OF^2=OM.OK=OD^2 \Rightarrow \Delta ODM= \Delta OKD$ (c-g-c)

$\Rightarrow \angle{DKO}= \angle{MDO}=\angle{NMA}=\angle{MNA}$ (2)

(1) (2) suy ra N,A,I thẳng hàng

Hình gửi kèm

  • geogebra-export.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 17-05-2018 - 11:25

  Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một  cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.

                   :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like 


#107 Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-05-2018 - 15:11

bài 36.b

Dễ dàng có $\angle AIP = \angle ARP = \frac{1}{2} \angle KIP$ nên $IA$ là trung trực $KP$ suy ra dpcm.

attachicon.gifdiendan(82).PNG

Mở rộng bài 35. 

Bài 40. Từ $A$ nằm ngoài $(O)$ kẻ hai cát tuyến $ABC$ và $ADE$. Chứng minh rằng  $I$ là giao của $BE$ và $CE$ chạy trên một đường cố định khi cát tuyến thay đổi..

attachicon.gifdiendan(83).PNG

Bài 40.

Gọi $(BIC)$ giao $(CID)$ tại $K$, $AM,AN$ là hai tiếp tuyến, $AO$ cắt $MN$ tại $H$.

Theo brocard thì $OK \perp AK$.

Ta có $AI.AK = AB.AC = AD.AE = AM^2 = AH.AO \Rightarrow IKOH$ nội tiếp $\Rightarrow HI \perp OA \Rightarrow M,I,N$ thẳng hàng nên $I$ chạy trên $MN$.

diendan(98).PNG



#108 conankun

conankun

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-05-2018 - 16:05

Bài 47. Thi Thanh Hóa 2017 - 2018.

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ cố định và $D$ là chân đường phân giác trong góc $A$ của tam giác. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABD$ và tam giác $ACD$.

1. Chứng minh $\angle AEO = \angle ADC$ và tứ giác $AEOF$ là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh tam giác $EOF$ là tam giác cân.

3. Khi $BC$ cố định và $A$ di động trên $(O)$, chứng minh tứ giác $AEOF$ có diện tích không đổi.

attachicon.gifdiendan(91).PNG.

1. Ta có: $\widehat{AEO}=\widehat{ADC}=90^0+\widehat{BAE}$

Tương tự: $\widehat{AFO}=\widehat{ADB}\Rightarrow \widehat{AEO}+\widehat{AFO}=180^0$

hay t/g $AEOF$ nt

2. Dễ dàng chứng minh $\widehat{EAO}=\widehat{EBO}$ , $\widehat{OAF}=\widehat{OCF}$ (1)

Lại có: $\widehat{BED}=\widehat{DFC}=\widehat{ABC}$ $\Rightarrow \widehat{EBD}=\widehat{FCD}$

mà $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$ suy ra: $\widehat{EBO}=\widehat{FCO}$ (2)

Từ (1)(2) suy ra: $\widehat{EAO}=\widehat{FAO}\Rightarrow \widehat{OEF}=\widehat{EFO}$ (do $t/g AEOF nt$)

hay $\Delta OEF$ cân

 

p/s: Ý 3 đang làm :)

Hình gửi kèm

  • diendan(91).PNG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 16-05-2018 - 16:16

                       $\large \mathbb{Conankun}$CHTer! Start a new way! :)


#109 Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-05-2018 - 17:22

Bài 54. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, $M,N$ là trung điểm của $AB,AC$, đường tròn $(AMC)$ cắt đường tròn $(ANB)$ tại $G$, $AG$ cắt đường tròn $(O)$ tại $P$, $D$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $\angle DAC = \angle PAB$.

diendan(99).PNG

Bài 55. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, $D,E$ là trung điểm $AB,AC$, đường tròn $(ADC)$ cắt đường tròn $(AEB)$ tại $J$, trung trực $BC$ cắt $DE$ tại $G$. Chứng minh $AJOG$ nội tiếp.

diendan(100).PNG

Bài 56. Từ $M$ nằm ngoài $(O)$ dựng tiếp tuyến $MA,MB$, kẻ đường kính $AE$, trên $ME, MO$ lấy $C,D$ sao cho $MC = MD = MA = MB$, $H$ là giao của $AB$ và $MO$. Chứng minh $\angle OCD = \angle DCH$.

diendan(101).PNG


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 17-05-2018 - 16:30


#110 Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-05-2018 - 17:31

1. Ta có: $\widehat{AEO}=\widehat{ADC}=90^0+\widehat{BAE}$

Tương tự: $\widehat{AFO}=\widehat{ADB}\Rightarrow \widehat{AEO}+\widehat{AFO}=180^0$

hay t/g $AEOF$ nt

2. Dễ dàng chứng minh $\widehat{EAO}=\widehat{EBO}$ , $\widehat{OAF}=\widehat{OCF}$ (1)

Lại có: $\widehat{BED}=\widehat{DFC}=\widehat{ABC}$ $\Rightarrow \widehat{EBD}=\widehat{FCD}$

mà $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$ suy ra: $\widehat{EBO}=\widehat{FCO}$ (2)

Từ (1)(2) suy ra: $\widehat{EAO}=\widehat{FAO}\Rightarrow \widehat{OEF}=\widehat{EFO}$ (do $t/g AEOF nt$)

hay $\Delta OEF$ cân

 

p/s: Ý 3 đang làm :)

Ý 3. 

$AD$ giao $(O)$ tại $H$. Ta có $\triangle BDH \sim \triangle AEO$ , $\triangle CDH \sim \triangle AFO \Rightarrow \frac{S_{AEO}}{S_{BDH}} = \frac{S_{AFO}}{S_{CDH}} = \frac{OA^2}{DB^2} $ không đổi.

Suy ra $S_{AEOF} = S_{BHC} . \frac{R^2}{HB^2}$ không đổi.

diendan(91).PNG


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 17-05-2018 - 08:41


#111 Korkot

Korkot

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 16-05-2018 - 20:14

Bài 44: Cho tam giác ABC nhọn, M thay đổi trên cạnh BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác  BMC cắt cạnh AC tại N

a) CM $\Delta AMN \sim \Delta ACB$. TÍnh $\frac{MA}{MB}$ để diện tích tam giác AMN bằng một nửa diện tích tam giác ACB

b) I là tâm của (AMN). Cm I nằm trên đường thẳng cố định

c) J là tâm (BMC). CM độ dài IJ không đổi

Mình post luôn đáp án vậy

a)Tg BMNC nt nên $\angle{AMN}=\angle{ACB} \Rightarrow \Delta AMN \sim \Delta ACB$ (g-g)

$\Rightarrow \frac{S_{AMN}}{S_{ACB}} = (\frac{AM}{AC})^2$

Kết hợp gt được $\frac{AM}{AC}= \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{AB}{\sqrt{2}.AB}$

Từ đó suy ra $\frac{MA}{AB-MA} = \frac{AC}{\sqrt{2}.AB-AC}$ hay $\frac{MA}{MB}= \frac{c}{\sqrt{2}-c}$

b)Vẽ tt Ax của (I). Ta có $\angle{xAC}= \angle{AMN}=\angle{ACB}$ suy ra Ax//BC

Mà IA vuông góc Ax nên IA vuông góc BC nên I nằm trên đường cố định qua A vuông góc BC

c)Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. (O) và (J) giao tại B và C nên OJ vuông góc BC

Kết hợp câu B có OJ//IA

CMTT ta có IJ//OA nên IAOJ là hbh nên IJ=OA không đổi

Hình gửi kèm

  • geogebra-export (1).png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 16-05-2018 - 20:38

  Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một  cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.

                   :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like 


#112 phamhuy1801

phamhuy1801

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-05-2018 - 21:27

Bài $57$: Cho $\triangle ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Đường trung trực đoạn $IC$ cắt $AI, BI, AC, BC$ lần lượt tại $D,E,H,F$. Gọi $T$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle AIH$.
a, Chứng minh $(T)$ đi qua $E$ và $5$ điểm $A,B,C,D,E$ cùng thuộc một đường tròn.
b, Chứng minh $IT \perp BD$.
32650032_378688749301219_208224515206309
Bài $58$: Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. $HD, HE$ lần lượt là phân giác góc $BHA$ và $CHA$ ($D,E$ thuộc $AB, AC$). $I$ là trung điểm $DE$. $BI$ cắt $DH, CD$ lần lượt tại $M,P$; $CI$ cắt $EH$, $BE$ lần lượt tại $N,Q.$ $BE$ cắt $CD$ tại $K.$ Chứng minh:
a, Tứ giác $APKQ$ nội tiếp.
b*, $MN//DE$ và $MN$ cắt $AH$ tại $K$.
32588593_378688822634545_155765427741183

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamhuy1801: 16-05-2018 - 21:53


#113 Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-05-2018 - 22:39

 

Bài $57$: Cho $\triangle ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Đường trung trực đoạn $IC$ cắt $AI, BI, AC, BC$ lần lượt tại $D,E,H,F$. Gọi $T$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle AIH$.
a, Chứng minh $(T)$ đi qua $E$ và $5$ điểm $A,B,C,D,E$ cùng thuộc một đường tròn.
b, Chứng minh $IT \perp BD$.
32650032_378688749301219_208224515206309
Bài $58$: Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. $HD, HE$ lần lượt là phân giác góc $BHA$ và $CHA$ ($D,E$ thuộc $AB, AC$). $I$ là trung điểm $DE$. $BI$ cắt $DH, CD$ lần lượt tại $M,P$; $CI$ cắt $EH$, $BE$ lần lượt tại $N,Q.$ $BE$ cắt $CD$ tại $K.$ Chứng minh:
a, Tứ giác $APKQ$ nội tiếp.
b*, $MN//DE$ và $MN$ cắt $AH$ tại $K$.
32588593_378688822634545_155765427741183

 

Bài 57

Dễ dàng chứng minh được $\angle IEC = 2\angle IAC \Rightarrow I$ là tâm ngoại tiếp $\triangle IAC$. Tương tự $D$ là tâm ngoại tiếp $\triangle IBC$.

Suy ra $\angle BEC = \angle BAC$ , $\angle ADC = \angle ABC \Rightarrow A,B,E,C,D$ thuộc $(ABC)$.

Dựng tiếp tuyến $IL$ của $(T) \Rightarrow \angle IBC = \angle LIB \Rightarrow IL \parallel DB \Rightarrow TI \perp BD$.

diendan(102).PNG


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 16-05-2018 - 22:41


#114 khanhdat1

khanhdat1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Đã gửi 16-05-2018 - 23:32

Bài 59. Cho đường tròn (O) có đường kính BC và A là một điểmnằm trên nửa đường tròn. Đường tròn (I) tiếp xúc với BC, CA, AB theo thứ tự tại D, E, F. Gọi M là trung điểm cạnh AC. Đường thẳng MI cắt AB tại N, đường thẳng DF cắt đường cao AH tại P.

      a) Chứng minh tam giác ANP là tam giác cân.

      b) Gọi T là hình chiếu của D trên EF. Chứng minh rằng TB.CD = TC.BD



#115 khanhdat1

khanhdat1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Đã gửi 16-05-2018 - 23:34

Bài 60. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có ba đường cao AG, BD, CE cắt nhau tại H. Gọi I là giao điểm của DE và AH. Đường thẳng qua I và song song với BC cắt tia AB, tia DB lần lượt tại P và Q. Gọi M là trung điểm của AH.

       a) Chứng minh rằng IP = IQ và I là trực tâm của tam giác MBC.

       b) Từ A vẽ các tiếp tuyến AS, AT với đường tròn đường kính BC (S, T là các tiếp điểm). Chứng minh rằng ba điểm S, H, T thẳng hàng 



#116 Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-05-2018 - 07:41

Bài 59. Cho đường tròn (O) có đường kính BC và A là một điểmnằm trên nửa đường tròn. Đường tròn (I) tiếp xúc với BC, CA, AB theo thứ tự tại D, E, F. Gọi M là trung điểm cạnh AC. Đường thẳng MI cắt AB tại N, đường thẳng DF cắt đường cao AH tại P.

      a) Chứng minh tam giác ANP là tam giác cân.

      b) Gọi T là hình chiếu của D trên EF. Chứng minh rằng TB.CD = TC.BD

a.

$EM = \frac{b}{2} - \frac{b+c-a}{2} = \frac{a-c}{2} \Rightarrow \frac{AN}{r} = \frac{b}{2} : \frac{a-c}{2} = \frac{b}{a-c} \Rightarrow AN = \frac{rb}{a-c} = \frac{(b+c-a)b}{2(a-c)} = \frac{a^2 - c^2 - b(a-c)}{2(a-c)} = \frac{a+c - b}{2} $.

$\text{Qua A kẻ } AK \text{ song song } CB $ $(K \in DF)$.

$\triangle APK \sim \triangle BID \Rightarrow AP = ANtan \angle APK = AF . \frac{BD}{DI} = BD = \frac{a+c-b}{2}$

$\Rightarrow \triangle ANP$ $\text{cân}$.

b.

$\text{Gọi } R,S \text{ là hình chiếu của } B,C \text{ trên } EF$.

$\triangle BRF \sim \triangle BPE \Rightarrow \frac{BR}{CP} = \frac{BF}{CE} = \frac{BD}{CD} = \frac{SR}{SP} \Rightarrow \triangle BRS \sim \triangle CPS \Rightarrow \frac{BS}{CS} = \frac{BD}{CD} \Rightarrow DS$ $BS \text{ là phân giác góc BSC} \Rightarrow \text{dpcm}$.

diendan(103).PNG


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 17-05-2018 - 07:48


#117 Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-05-2018 - 08:29

Bài 60Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có ba đường cao AG, BD, CE cắt nhau tại H. Gọi I là giao điểm của DE và AH. Đường thẳng qua I và song song với BC cắt tia AB, tia DB lần lượt tại P và Q. Gọi M là trung điểm của AH.

       a) Chứng minh rằng IP = IQ và I là trực tâm của tam giác MBC.

       b) Từ A vẽ các tiếp tuyến AS, AT với đường tròn đường kính BC (S, T là các tiếp điểm). Chứng minh rằng ba điểm S, H, T thẳng hàng 

a.

$\text{Dễ dàng chứng minh } DH,DA \text{ là các đường phân giác trong và ngoài của } \triangle IDG \Rightarrow \frac{HI}{HG} = \frac{AI}{AG} \Rightarrow \frac{IQ}{BG} = \frac{IP}{BG} \Rightarrow IP = IQ$.

$\text{Dễ dàng chứng minh } \triangle MDI \sim \triangle MDG \Rightarrow MD^2 = MI.MG \Rightarrow GI.GM = GM^2 - MI.MG = GM^2 - MA^2 = GH.GA = GB.GC \text{ từ đây dễ dàng chứng minh } \triangle IGC \sim \triangle BGM \text{ để suy ra được } I \text{ là trực tâm } \triangle MBC$.

b.

$AS^2 = AT^2 = AB.ME = AC.AD = AH.AG \Rightarrow \triangle AHS \sim \triangle ASG , \triangle AHT \sim \triangle ATG \Rightarrow \angle AHS + \angle AHT = \angle ASG + \angle ATG = 180 \Rightarrow \text{ dpcm}.$

diendan(104).PNG .

$\text{* Bài này là trường hợp đặc biệt của bài 40 đã được trình bày ở trên}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 17-05-2018 - 09:11


#118 Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-05-2018 - 09:01

Bài 39: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ có các đường cao $BE,CF$. $M$ là trung điểm $BC$, $AM$ cắt $EF$ tại $N$. Kẻ $NX \perp BC$, $XY \perp AB$ , $XZ \perp AC$. Chứng minh $N$ là trực tâm của tam giác $AYZ$.

$\text{ Gọi tiếp tuyến tại B cắt tiếp tuyến tại C của } (O) \text{ tại } S.$

$\text{Dễ dàng chứng minh } S,X,A \text{ thẳng hàng và } AX \text{ là đường đối trung trong tam giác } ABC$.

$\text{ Phần chứng minh đã có tại đây }$ https://diendantoanh...-2019/page-3}$.

$\angle NAZ  = \angle YAX = 90 - \angle AZY \Rightarrow AN \perp YZ$.

$\frac{NE}{NF} = \frac{BX}{CX} = \frac{BY}{YF} = \frac{CZ}{ZE} \Rightarrow ZN \perp AY , YN \perp AZ \Rightarrow \text{ dpcm}$.

diendan(105).PNG


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 17-05-2018 - 09:09


#119 Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-05-2018 - 09:18

Bài 24. Cho tam giác $ABC$, $M,N,P$ là các điểm bất kì trên các cạnh $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng trong các tam giác $ANP, BMP, CMN$ tồn tại một tam giác có diện tích không vượt quá $\frac{1}{4}$ diện tích tam giác $ABC$.

một kết quả khác khi $M,N,P$ là chân các đường phân giác.

$\frac{S_{ANP}}{S_{BMP}} = \frac{AN.AP}{AB.AC} , \text{ thiết lập các tỉ số tương tự rồi nhân vào được } \frac{S_{ANP}.S_{BMP}.S_{CMN}}{S_{ABC}^3} = \frac{AP.BP}{AB^2} . \frac{BM.CM}{BC^2} . \frac{AN.CN}{AC^2} \leq \frac{1}{4} . \frac{1}{4} . \frac{1}{4} = \frac{1}{64} \Rightarrow S_{ANP}.S_{BMP}.S_{CMN} \leq (\frac{S_{ABC}}{4})^3 \Rightarrow \text{ tồn tại ít nhất một tam giác có diện tích không vượt quá} \frac{1}{4} S_{ABC}$.

$\text{Trường hợp } M,N,P \text{ là chân các đường phân giác còn có thể làm bằng cách cộng các tỉ số}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 17-05-2018 - 09:27


#120 Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-05-2018 - 10:06

Bài 61.

Cho $(O;R)$ và $(O_1;R_1)$ cắt nhau tại $A,B$, tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ và $(O_1)$ cắt $(O_1)$, $(O)$ tại $D,C$, $AB$ cắt $CD$ tại $E$, $M$ là trung điểm $DE$.

1. Chứng minh $\frac{EC}{ED} = \frac{R^2}{R_1^2}$.

2. Chứng minh $\angle MAC = \angle BAD$.

diendan(106).PNG

Bài 62.

Cho $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A,B$, tiếp tuyến chung ngoài $CD$, ($C \in (O), D \in (O')$). Một dường thẳng $d$ bất kì qua $B$ cắt $(O),(O')$ tại $E,F$, $CE$ cắt $DF$ tại $G$, $M$ là trung điểm $EF$. Chứng minh $\angle MGF = \angle AGC$.

diendan(107).PNG


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 17-05-2018 - 14:21






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học, cực trị hình học, đặc tính hình học, quỹ tích

3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh