Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] HÌNH HỌC ÔN THI VÀO THPT CHUYÊN 2018-2019

hình học cực trị hình học đặc tính hình học quỹ tích

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 216 trả lời

#121 khanhdat1

khanhdat1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Đã gửi 17-05-2018 - 11:33

Bài 63. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có E, F thuộc đoạn CA và BA sao cho EF song song với BC. Đường trung trực của đoạn thẳng BC cắt AC tại M, đường trung trực của đoạn EF cắt cắt AB tại N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM cắt CF tại P khác C, đường tròn ngoại tiếp tam giác EFN cắt CF tại Q khác F.

          a) Chứng minh rằng đường trung trực của PQ đi qua trung điểm của MN.

          b) Gọi L là điểm chính giữa cung lớn BC của đường tròn (O) và I là một điểm bất kì trên đoạn AL. Gọi J là hình chiếu của I trên BC. Đường tròn tâm I bán kính IJ cắt AB, AC theo thứ tự tại X, Y. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AXY và đường tròn tâm L bán kính LB tiếp xúc với nhau.



#122 Korkot

Korkot

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 17-05-2018 - 11:35

Bài 62.

 

Cho $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A,B$, tiếp tuyến chung ngoài $CD$, ($C \in (O), D \in (O')$). Một dường thẳng $d$ bất kì qua $B$ cắt $(O),(O')$ tại $E,F$, $CE$ cắt $DF$ tại $G$, $M$ là trung điểm $EF$. Chứng minh $\angle MGF = \angle AGC$.

Lời giải:

 

AB cắt CD tại H. Ta cm được $HC^2=HA.HB=HD^2$ nên H là trung điểm CD

Có $\angle{CEB}=\angle{BCD}; \angle{DFB}=\angle{CDB}$ nên $\Delta BCD \sim \Delta GEF$ (g-g)

$\Rightarrow \frac{EF}{GF}=\frac{CD}{BD}$

$\Rightarrow \frac{MF}{GF}=\frac{HD}{BD}$

Từ đây ta cm được $\Delta GMF \sim \Delta BHD \Rightarrow \angle{HBD}=\angle{MGF}=\angle{HDA}$

Cm được tg GCAD nt suy ra $\angle{CGA}=\angle{CDA}=\angle{MGF}$ (đpcm)

P/S hình vẽ bạn gợi ý điểm H khiến bài toán giảm đi phần nào độ khó rồi 

Hình gửi kèm

  • geogebra-export (1).png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 17-05-2018 - 13:52

  Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một  cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.

                   :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like 


#123 khanhdat1

khanhdat1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Đã gửi 17-05-2018 - 11:36

Bài 64. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn (O’)  tiếp xúc trong với đường tròn (O) và tiếp xúc với các cạnh AB, BC lần lượt tại R, P, Q. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 

           a) Chứng minh rằng $\widehat{ARI}=\widehat{CRI}$.

           b) Đường trung trực của AI cắt AC, AB theo thứ tự tại E, F. Chứng minh rằng đường tròn tiếp xúc với AC, AB tại E, F tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanhdat1: 22-05-2018 - 21:59


#124 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 573 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality and my girl

Đã gửi 17-05-2018 - 14:50

Bài 13 Cho tam giác $\Delta ABC$ có $(I)$ là đường tròn nội tiếp. Gọi $D,E,F$ là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp $\widehat A$ của $\Delta ABC$ với các cạnh của tam giác.Chứng minh rằng $S_{IBC} > \frac{1}{4} S_{DEF}$

Ta dễ dàng chứng minh được: $BI\parallel DE; IC\parallel DF\Rightarrow \triangle BIC \sim \triangle DEF\Rightarrow \frac{S_{BIC}}{S_{DEF}}=\left (\dfrac{BC}{EF}  \right )^2$

Mặt khác $2BC=BC+BE+CF>EF\Rightarrow \left (\dfrac{BC}{EF}  \right )^2>\dfrac{1}{4}$.

Suy ra đpcm

Hình gửi kèm

  • bai13.jpg

DK <3 BL  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :D  :D  :D  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:

$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#125 taconghoang

taconghoang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 119 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Hình học phẳng , my girl <3

Đã gửi 17-05-2018 - 15:09

$\text{ Gọi tiếp tuyến tại B cắt tiếp tuyến tại C của } (O) \text{ tại } S.$

$\text{Dễ dàng chứng minh } S,X,A \text{ thẳng hàng và } AX \text{ là đường đối trung trong tam giác } ABC$.

$\text{ Phần chứng minh đã có tại đây }$ https://diendantoanh...-2019/page-3}$.

$\angle NAZ  = \angle YAX = 90 - \angle AZY \Rightarrow AN \perp YZ$.

$\frac{NE}{NF} = \frac{BX}{CX} = \frac{BY}{YF} = \frac{CZ}{ZE} \Rightarrow ZN \perp AY , YN \perp AZ \Rightarrow \text{ dpcm}$.

attachicon.gifdiendan(105).PNG

Cách khác phù hợp với THCS hơn :D 

Hình gửi kèm

  • Untitled.png


#126 khanhdat1

khanhdat1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Đã gửi 17-05-2018 - 15:36

Đường đối trung trong tam giác là một trường hợp đặc biệt của hai đường đẳng giác trong tam giác. Đường đối trung và đường đẳng giác có một số tính chất hay và cũng dễ chứng minh. Trong các bài toán khi sử dụng đến các đường này ta có thể chứng minh như nó dưới dạng bổ đề. 



#127 Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-05-2018 - 16:09

Bài 64. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn (O’)  tiếp xúc trong với đường tròn (O) và tiếp xúc với các cạnh AB, BC lần lượt tại R, P, Q. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

           a) Chứng minh rằng $\widehat{ARK}=\widehat{CRK}$.

           b) Đường trung trực của AI cắt AC, AB theo thứ tự tại E, F. Chứng minh rằng đường tròn tiếp xúc với AC, AB tại E, F tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC.

a. $QR$ cắt $(O)$ tại $S$, Gọi $I'$ là giao của $PQ$ và $AS$, gọi $T$ là tâm đường tròn tiếp xúc với $AB,AC$ tại $E,F$.

Dễ dàng chứng minh $I'$ chính là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC \Rightarrow I' \equiv I$.

Suy ra $I$ là trung điểm của $PQ$.

Để ý rằng $E,F$ là trung điểm của $AP,AQ$. Gọi $(EIB)$ giao $(FIC)$ tại $G$ khác $I$.

$\angle BGC = \angle BGI + \angle CGI = \angle PEF + \angle QFI = 2\angle BAC = \angle BOC \Rightarrow G \in (BOC)$.

$\angle EGI + \angle FGI = 180 - \angle ABI +180 - \angle ACI = 360 - \frac{\angle ABC + \angle ACB}{2} \Rightarrow \angle EGF = \frac{1}{2}( \angle ABC + \angle ACB) \Rightarrow G \in (T)$.

Ta có $\angle FGC = \angle FIC = \angle FIQ + \angle CIQ = \angle CBI +\angle FEI = \angle FEG + \angle CBG \Rightarrow (T)$ tiếp xúc với $(BOC)$.

diendan(108).PNG

Dễ dàng nhận thấy rằng trực tâm $H$ của $\triangle AEF$ thuộc $(EFI)$, $\triangle BPI \sim \triangle BIC \sim \triangle IQC$, $PIRB,QIRC$ là các tứ giác nội tiếp.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 17-05-2018 - 16:16


#128 duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái dương hệ
  • Sở thích:số học & piano

Đã gửi 17-05-2018 - 16:13

Bài 54. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, $M,N$ là trung điểm của $AB,AC$, đường tròn $(AMC)$ cắt đường tròn $(ANB)$ tại $G$, $AG$ cắt đường tròn $(O)$ tại $P$, $D$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $\angle DAC = \angle PAB$.

attachicon.gifdiendan(99).PNG

 

Mượn hình bạn đỡ

Bài này sử dụng kiến thức về đường đối trung (có cách nào nhẹ hơn thì càng tốt)

Gọi $(AMC)$ cắt $BC$ tại $S$;$(ANB)$ cắt $BC$ tại $R$ và $AG$ cắt $BC$ tại $T$

Sử dụng phương tích:$BS.BC=BM.BA$ và $CR.CB=CN.CA$ từ đó 

$\frac{BS}{CR}=\frac{AB^2}{AC^2}$

Mặt khác $TS.TC=TG.TA=TR.TB \Rightarrow \frac{TB}{TC}=\frac{TS}{TR}=\frac{TB-TS}{TC-TR}=\frac{BS}{CR}$

Vậy $\frac{TB}{TC}=\frac{AB^2}{AC^2}$ nên $AG$ là đường đối trung trong tam giác $ABC$ hay $\widehat{PAB}=\widehat{DAC}$


Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 


#129 Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-05-2018 - 16:29

Bài 54. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, $M,N$ là trung điểm của $AB,AC$, đường tròn $(AMC)$ cắt đường tròn $(ANB)$ tại $G$, $AG$ cắt đường tròn $(O)$ tại $P$, $D$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $\angle DAC = \angle PAB$.

attachicon.gifdiendan(99).PNG

Bài 55. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, $D,E$ là trung điểm $AB,AC$, đường tròn $(ADC)$ cắt đường tròn $(AEB)$ tại $J$, trung trực $BC$ cắt $DE$ tại $G$. Chứng minh $AJOG$ nội tiếp.

attachicon.gifdiendan(100).PNG

Bài 56. Từ $M$ nằm ngoài $(O)$ dựng tiếp tuyến $MA,MB$, kẻ đường kính $AE$, trên $ME, MO$ lấy $C,D$ sao cho $MC = MD = MA = MB$, $H$ là giao của $AB$ và $MO$. Chứng minh $\angle OCD = \angle DCH$.

attachicon.gifdiendan(101).PNG

Bài 54.

Cách khác.

Dễ dàng chứng minh $\triangle GMB \sim \triangle GNC$ , $\triangle PBC \sim \triangle GMC \Rightarrow \frac{PB}{PC} = \frac{GM}{GC} = \frac{BM}{CN} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow AB.PC = AC.PB$.

Sử dụng định lý ptoleme, được $AB.PC + CA.PB = AP.BC = 2AB.PC \Rightarrow AC.PB = DC.AP \Rightarrow \triangle DAC \sim \triangle PBA \Rightarrow $ dpcm

diendan(109).PNG .

Bài 55.

Gọi $DE$ cắt $(AEB),(ADC)$ tại $P,Q$.

$\angle PBA = \angle PEA = \angle ACB \Rightarrow BP$ là tiếp tuyến với $(O)$, tương tự $CQ$ là tiếp tuyến với $(O)$.

$BP$ cắt $CQ$ tại $M$.

Dễ dàng chứng minh $MJA$ là đường đối trung trong $\triangle ACB$ và $PBGO$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $OP \Rightarrow MJ.MA = MB.MP = MG.MO \Rightarrow AJGO$ nội tiếp.

diendan(100).PNG

Bài 56.

$MC^2 = MB^2 = MH.MO \Rightarrow \frac{CH^2}{CO^2} = \frac{MH}{MO}$.

Dễ dàng chứng minh $AD$ là phân giác $\angle OAH \Rightarrow \frac{DH^2}{DO^2} = \frac{AH^2}{AO^2} = \frac{MH}{MO} \Rightarrow \frac{DH}{DO} = \frac{CH}{CO} \Rightarrow $ dpcm.

diendan(101).PNG


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 17-05-2018 - 17:35


#130 kekkei

kekkei

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 107 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT chuyên Lê Khiết- Quảng Ngãi
  • Sở thích:ăn vịt

Đã gửi 17-05-2018 - 17:47

Cũng muốn góp vui một bài tự sáng tác đề khá ngắn mà hay( cho THCS) định gửi cho toán học tuổi trẻ mà lười ghi lời giải  :D  Bài toán 65: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) , M là trung điểm cung nhỏ BC . lấy K,L lần lượt thuộc AB,AC sao cho OK//MB và OL//MC. ML cắt (O) tại điểm thứ 2 là G .Chứng minh BG chia đôi KL

( Mình nghĩ nó hay qua lời giải của mình còn bạn nào thấy dễ quá thì cũng đừng chê nhé ^^)


éc éc 

 


#131 Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-05-2018 - 17:59

Cũng muốn góp vui một bài tự sáng tác đề khá ngắn mà hay( cho THCS) định gửi cho toán học tuổi trẻ mà lười ghi lời giải  :D  Bài toán 65: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) , M là trung điểm cung nhỏ BC . lấy K,L lần lượt thuộc AB,AC sao cho OK//MB và OL//MC. ML cắt (O) tại điểm thứ 2 là G .Chứng minh BG chia đôi KL

( Mình nghĩ nó hay qua lời giải của mình còn bạn nào thấy dễ quá thì cũng đừng chê nhé ^^)

diendan(110).PNG

Hình như có vấn đề.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 17-05-2018 - 18:00


#132 kekkei

kekkei

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 107 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT chuyên Lê Khiết- Quảng Ngãi
  • Sở thích:ăn vịt

Đã gửi 17-05-2018 - 18:00

M là trung điểm cung nhỏ 


éc éc 

 


#133 duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái dương hệ
  • Sở thích:số học & piano

Đã gửi 17-05-2018 - 19:22

 

Bài 56. Từ $M$ nằm ngoài $(O)$ dựng tiếp tuyến $MA,MB$, kẻ đường kính $AE$, trên $ME, MO$ lấy $C,D$ sao cho $MC = MD = MA = MB$, $H$ là giao của $AB$ và $MO$. Chứng minh $\angle OCD = \angle DCH$.

 

Nhận xét:Cho hàng điểm $A;C;B;D$ theo thứ tự đó thỏa $\frac{CA}{CB}=\frac{DA}{DB}$ .Giả sử có điểm $S$ sao cho $\widehat{CSD}=90^0$ thì $SC$ là phân giác trong tam giác $ASB$ (Không khó chứng minh)

Dựng $(M;MA)$ và kẻ đường kính $DN$ của đường tròn này

Dễ thấy $AD$ là phân giác trong $\triangle AOH$ và $AN$ là phân giác ngoài

Suy ra $\frac{DO}{DH}=\frac{NO}{NH}$

Mà $\widehat{NCD}=90^0$ nên theo nhận xét trên $CD$ là phân giác $\widehat{OCH}$


Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 


#134 viethoang2002

viethoang2002

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LÊ KHIẾT QUẢNG NGÃI
  • Sở thích:hình học

Đã gửi 17-05-2018 - 20:31

Gợi ý cho các bạn lớp 9 bài 65 : Kẻ đường cao AN (N thuộc (O)) khi đó NK=NL  :icon6:  :icon6:



#135 viethoang2002

viethoang2002

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LÊ KHIẾT QUẢNG NGÃI
  • Sở thích:hình học

Đã gửi 17-05-2018 - 21:03

cũng muốn góp vui cho topic, mình chọn những bài phát biểu ngắn mà hay,lại 1 bài chia đôi cho các bạn  :D  :D  : Bài 66 :cho tam giác ABC nhọn , đường cao BI,CG . trực tâm H và tâm ngoại O .đường trung trực của AH cắt AB,AC lần lượt tại D,E. OD,OE lần lượt cắt GI tại S,T. chứng mình OA chia đôi ST



#136 Korkot

Korkot

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 17-05-2018 - 21:51

Bài 67:Cho góc xAy vuông và hai điểm B,C trên Ax,Ay. Hình vuông MNPQ có M trên AB,N trên AC và P,Q trên BC. B,C trên Ax,Ay sao cho tích AB.AC=$k^2$ (k không đổi) TÌm GTLN của diện tích hình vuông MNPQ

Bài 68: Cho tam giác ABC nhọn nt (O). M là trung điểm BC,E là điểm chính giữa cung nhỏ BC, F đối xứng E qua M.Gọi I là tâm đường tròn nt tam giác ABC và P thay đổi trên (IBC) sao cho P,O,F không thẳng hàng. CMR tiếp tuyến tại P của (POF) đi qua điểm cố định.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 19-05-2018 - 12:32

  Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một  cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.

                   :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like 


#137 Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-05-2018 - 22:40

cũng muốn góp vui cho topic, mình chọn những bài phát biểu ngắn mà hay,lại 1 bài chia đôi cho các bạn  :D  :D  : Bài 66 :cho tam giác ABC nhọn , đường cao BI,CG . trực tâm H và tâm ngoại O .đường trung trực của AH cắt AB,AC lần lượt tại D,E. OD,OE lần lượt cắt GI tại S,T. chứng mình OA chia đôi ST

Dễ dàng chứng minh $\triangle ADH \sim \triangle AOC \Rightarrow \triangle ADO \sim \triangle AHC \Rightarrow \angle AOD = \angle ACH$, tương tự $\angle AOE = \angle ABH \Rightarrow OA $ là phân giác $\angle DOE$.

$\angle SDI = 180 - \angle AHC = \angle ABC = \angle AGS \Rightarrow ADSG$ nội tiếp.

Tương tự $AETI$ nội tiếp $\Rightarrow OST = \angle BAC = \angle OTS \Rightarrow OA$ chia đôi $ST$.diendan(111).PNG

Dễ dàng nhận thấy từ bài toán này, $A$ là tâm đường tròn bàng tiếp $\triangle ODE$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 17-05-2018 - 22:45


#138 phamhuy1801

phamhuy1801

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-05-2018 - 23:50

 

Bài $43$: Cho $\triangle ABC$ nhọn, đường cao $BD, CE$ cắt nhau tại $H$. Đường tròn đường kính $AB$ cắt $CE$ tại $G$, đường tròn đường kính $AC$ cắt $BD$ tại $F$. $CF$ cắt $BG$ tại $I$, $DG$ cắt $EF$ tại $K$.

a, Chứng minh $3$ điểm A,I,K cùng nằm trên đường trung trực của FG .

b, Giả sử $EF$ cắt $BG$ tại $M$, $DG$ cắt $CF$ tại $N$. Chứng minh $HI, EN, DM$ đồng quy.

 

32678503_378178532685574_842490035768708

 

Lời giải phần $b$ (có dùng định lí $Menelaus$ và định lí $sin$ trong tam giác)

Gọi $EN$ cắt $HI$ tại $P$. Ta chứng minh $M, P, D$ thẳng hàng. 

$\widehat{FMI}=\widehat{IGN}=\widehat{ABC}$, chứng minh được $\triangle FMI =\triangle GNI (g.c.g) \rightarrow MI=NI; \widehat{FMI}=\widehat{ING}$

Ta có:

$\frac{BM}{BE}=\frac{sin \widehat{BEF} }{sin \widehat{BME}}=\frac{sin \widehat{ACF} }{sin \widehat{FMI}}$
$\frac{CD}{CN}=\frac{sin \widehat{CND} }{sin \widehat{CDG}}=\frac{sin \widehat{ING} }{sin \widehat{ABG}}$
Nên:
$\frac{BM}{BE}.\frac{CD}{CN}=\frac{sin \widehat{ACF} }{sin \widehat{FMI}}.\frac{sin \widehat{ING} }{sin \widehat{ABG}}=\frac{sin \widehat{ACF} }{sin \widehat{ABG}}$
$\Leftrightarrow \frac{BM}{BE}.\frac{CD}{CN}=\dfrac{(\dfrac{AF}{AC})}{(\dfrac{AG}{AB})}=\frac{AB}{AC}$
$\Leftrightarrow \frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}.\frac{BE}{CD}$
$\Leftrightarrow \frac{BM}{CN}=\frac{HE}{EC}.\frac{DB}{HD}$
$\Leftrightarrow \frac{HD}{DB}.\frac{BM}{MI}=\frac{HE}{EC}.\frac{CN}{NI}$ (sử dụng $MI=NI$) 
$\Leftrightarrow \frac{IP}{PH}.\frac{HD}{DB}.\frac{BM}{MI}=1$ (theo định lí $Menelaus$ có $\frac{HE}{EC}.\frac{CN}{NI}.\frac{PI}{PH}=1$)

$\Leftrightarrow $ $M,D,P$ thẳng hàng. Bài toán được chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamhuy1801: 18-05-2018 - 00:05


#139 Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-05-2018 - 10:21

Bài 67:Cho góc xAy vuông và hai điểm B,C trên Ax,Ay. Hình vuông MNPQ có M trên AB,N trên AC và P,Q trên BC. B,C trên Ax,Ay sao cho tích AB.AC=$k^2$ (k không đổi) TÌm GTLN của diện tích hình vuông MNPQ

Bài 68: Cho tam giác ABC nhọn nt (O). M là trung điểm BC,E là điểm chính giữa cung nhỏ BC, F đối xứng E qua M.Gọi I là tâm đường tròn nt tam giác ABC và P thay đổi trên (IBC) sao cho P,O,F không thẳng hàng. CMR tiếp tuyến tại P của (POF) đi qua điểm cố định

Bài 68.

$OE$ cắt $(O)$ tại $G$ khác $E$.

Dễ dàng chứng minh $E$ là tâm $(BIC)$.

$EB^2 = EC^2 = EM.EG = EP^2 = 2OE.EM = EF.EO \Rightarrow \triangle EPF \sim \triangle EOP \Rightarrow EP$ là tiếp tuyến của $(POF) \Rightarrow $ dpcm

diendan(112).PNG


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 18-05-2018 - 10:52


#140 khanhdat1

khanhdat1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Đã gửi 18-05-2018 - 12:16

Bài 69. Cho tứ giác ABCD có $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=90^{0}$ nội tiếp đường tròn (O). Lấy điểm M trên đoạn thẳng AB sao cho AM = AD. Đường thẳng DM cắt BC tại N. Gọi H là hình chiếu của D trên AC và K là hình chiếu của C trên AN.

          a) Chứng minh rằng $\widehat{MHN}=\widehat{MCK}$.

          b) Gọi T là giao điểm của AB và CK. Lấy các điểm E, F lần lượt trên đoạn AT và CT sao cho EF song song với AC và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác TEF nằm trên AC. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tam giác TEF và đường tròn ngoại tiếp tam giác NAC tiếp xúc với nhau.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanhdat1: 18-05-2018 - 15:15






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học, cực trị hình học, đặc tính hình học, quỹ tích

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh