Chủ đề này có 216 trả lời

[Khoa Linh]

Bài 88:Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. Gọi $J$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Đường tròn $(O')$ tiếp xúc với $JA,JB$ tại $E,F$ và tiếp xúc trong với $(O)$. CMR: đường thẳng $EF$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABD$.

Bài này có rồi, bạn sửa thành bài khác đi 

[viaaiv]

Cho tớ đóng góp 1 bài nhá:

Bài 89: Cho tam giác ABC, phân giác AD, trung tuyến AM. Đường vuông góc với AD tại D cắt AB, AM lần lượt tại X, Y. Đường vuông góc với AB tại X cắt AD tại Z. Chứng minh YZ vuông góc với BC.

[MoMo123]

$\boxed{\text{Bài 90}}$ Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$ có $AB<AC$.Gọi M là trung điểm BC.AM cắt (O) tại điểm thứu 2 là D. Đường tròn ngoại tiếp $\Delta MDC$ cắt đường thẳng AC tại E. Đường tròn ngoại tiếp $\Delta MBD$ cắt đường thẳng AB tại F.

a) Chứng minh $\Delta CED\, \sim \, \Delta BFD$ và E,M,F thẳng hàng

b) Phân giác $\angle BAC$ cắt EF tại N. Phân giác $\angle CEM$ cắt CN tại P. Phân giác $\angle BFN$ cắt BN tại Q. Chứng minh $PQ//BC$

[BurakkuYokuro11]

$\boxed{\text{Bài 90}}$ Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$ có $AB<AC$.Gọi M là trung điểm BC.AM cắt (O) tại điểm thứu 2 là D. Đường tròn ngoại tiếp $\Delta MDC$ cắt đường thẳng AC tại E. Đường tròn ngoại tiếp $\Delta MBD$ cắt đường thẳng AB tại F.

a) Chứng minh $\Delta CED\, \sim \, \Delta BFD$ và E,M,F thẳng hàng

b) Phân giác $\angle BAC$ cắt EF tại N. Phân giác $\angle CEM$ cắt CN tại P. Phân giác $\angle BFN$ cắt BN tại Q. Chứng minh $PQ//BC$

 

a)Tứ giác MECD nội tiếp : ^AME = ^ACD (1)

Tứ giác BMDF nội tiếp : ^DMF = ^DBF

=> ^AMF = ^ABD (2)

Tứ giác ABCD nội tiếp (O) =>

$\angle$ ABD +$\angle$ ACD =180 (3)

$\angle$AMF + $\angle$AME = 180

=> E,M,F thẳng hàng 

Đến đây , chứng minh $\Delta CED\, \sim \, \Delta BFD$ dễ rồi

b) Xét Tam giác ABC , theo định lí Manelaus : 

$\frac{AE}{EC} . \frac{MC}{BM} . \frac{BF}{CF} =1$

Suy ra : 

$\frac{AE}{CE} =\frac{AF}{BF}$ (4)

Tam giác BFN có FP là đường phân giác .Tam giác NEC có EQlà đường phân giác 
Suy ra : 

$\frac{NP}{BP} = \frac{FN}{BF} ; \frac{NQ}{QC}=\frac{NE}{EC}$ (5)

Tam giác AEF có AN là đường phân giác :

$\frac{NE}{NF}=\frac{AE}{AF}$(6)

Từ (4);(5);(6)  =)))) 

 $\frac{NP}{PB} = \frac{NQ}{QC}$

Suy ra : PQ //BC

........................................................................................................................................................................................   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BurakkuYokuro11: 30-05-2018 - 23:23

[MarkGot7]

Bài 91: Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp (O). Lấy điểm E thuộc cung AB nhỏ. AE cắt BC tại H. AB cắt CE tại F. AE cắt DC tại K. Chứng minh: 

  Đường tròn ngoại tiếp $\Delta FBE$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp $\Delta KED$

[Korkot]

Bài 91: Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp (O). Lấy điểm E thuộc cung AB nhỏ. AE cắt BC tại H. AB cắt CE tại F. AE cắt DC tại K. Chứng minh: 

  Đường tròn ngoại tiếp $\Delta FBE$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp $\Delta KED$

Ta cm OE là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (FBE) và (KED).

Có $\angle{OED}=\angle{ODE}=\angle{BCE}=\angle{CKE}$ nên theo hệ quả góc tạo bởi tia tt và dây cung thì  OE là tt của (KED)

Có $\angle{EBA}=\angle{ECA}=\angle{CEO}$ nên ta có OE là tt của (FBE)

Vậy (FBE) và (KED) cùng tiếp xúc với OE tại E nên ta có đpcm

P/S việc gì mà cho nhiều điểm thế nhỉ?

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 28-05-2018 - 21:57

[MarkGot7]

Ta cm OE là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (FBE) và (KED).

Có $\angle{OED}=\angle{ODE}=\angle{BCE}=\angle{CKE}$ nên theo hệ quả góc tạo bởi tia tt và dây cung thì  OE là tt của (KED)

Có $\angle{EBA}=\angle{ECA}=\angle{CEO}$ nên ta có OE là tt của (FBE)

Vậy (FBE) và (KED) cùng tiếp xúc với OE nên ta có đpcm

P/S việc gì mà cho nhiều điểm thế nhỉ?

Bài 92: Cho $\widehat{xOy}$ vuông và hai điểm cố định A, B trên Ox ( A nằm giữa O và B). Điểm M chạy trên Oy ( M khác O). Đường tròn đường kính AB cắt MA; MB  lần lượt tại C, E. Tia OE cắt đường tròn tại F. Xác định vị trí của M để tứ giác OCFM là hình bình hành.

   P/s: Thật ra là còn một câu trước nhưng dễ quá nên bỏ rồi.

[Khoa Linh]

Cho tớ đóng góp 1 bài nhá:

Bài 89: Cho tam giác ABC, phân giác AD, trung tuyến AM. Đường vuông góc với AD tại D cắt AB, AM lần lượt tại X, Y. Đường vuông góc với AB tại X cắt AD tại Z. Chứng minh YZ vuông góc với BC.

Kéo dài $DY$ cắt $AC$ tại $I$.

Suy ra $ZI \perp AC$

Từ $Y$ kẻ đường thẳng vuông góc với $YZ$ cắt $AB$, $AC$ tại $P,Q$. 

Ta có hai tứ giác $ZYPX$ và $ZYIQ$ nội tiếp.

Kết với với $\widehat{ZXY}=\widehat{ZIY}$ thì ta có: $\widehat{ZPY}=\widehat{ZQY}$ 

Suy ra $YP=YQ$ mà $MB=MC$ từ đó ta có $PQ || BC$. Suy ra đcpcm

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 28-05-2018 - 22:49

[Diepnguyencva]

Bài 93: Cho tam giác ABC nhọn và cân tại C. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Gọi H là giao điểm BF và CE. Đường tròn đường kính EC cắt AC tại M. Gọi K là giao điểm của BM và (O). Chứng minh KC đi qua trung điểm HF.

Bài 94: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC; cát tuyến ADE sao cho BD< CD; AD< AE. Gọi H là giao điểm của OA và BC. Gọi I là trung điểm DE. Kéo dài IH cắt (O) tại K sao cho H nằm giữa I và K. Gọi S là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OKA. Chứng minh OS vuông góc IK.

[diepnu2412]

KMTTQ, Giả sử $AB \leq AC$

a) (O) tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F $\Rightarrow EC=DC; BD=BF;AF=AE$

Mà CE=CD (gt) $\Rightarrow  MD=PE$

Mà OD=OE và $\Delta ODM ; \Delta OEP$ vuông nên $\Delta ODM= \Delta OEP $ (C-G-C)

$\Rightarrow$ OM=OP

Cmtt ta có OM=OP=ON nên O là tâm (MNP)

b)Ở phần CMTT trên ta có $\Delta OFN=\Delta ODM \Rightarrow \Delta OFN= \Delta OED \Rightarrow \angle{ONF} =\angle {OPE} $

$\Rightarrow$ tg APON nt (góc ngoài = góc đối trong)

c) Trước hết Cm công thức sau : $ NP= OM.2sin_{PMN}$ (phần này chắc mọi người đã biết)

Vì $\angle{NMP} = \frac{\angle{MOP}}{2} = \frac{180-\angle{BAC}}{2}$ không đổi (vì tg ANOP nt)

Nên NP nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất 

Mà $OM^2= OD^2+MD^2 \geq OD^2$ 

$\Rightarrow Min_{OM}=OD$ đạt được khi $M \equiv D$

Vậy M trùng C thì ta có NP nhỏ nhất 

P\S vẽ hình thành công sau 3 tiếng

Bạn giải thích rõ hơn đi ạ. Mình vẫn chưa hiểu lắm. Cảm ơn trước ạ. ^^

[Khoa Linh]

Bài 93: Cho tam giác ABC nhọn và cân tại C. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Gọi H là giao điểm BF và CE. Đường tròn đường kính EC cắt AC tại M. Gọi K là giao điểm của BM và (O). Chứng minh KC đi qua trung điểm HF.

 

Gọi $I$ là giao điểm của $CK$ và $MI$. 

Bằng cộng góc ta dễ dàng chứng minh được: $\widehat{MEO}=90^{\circ}$ nên $ME$ là tiếp tuyến của $(O)$

Suy ra $\widehat{MEK}=\widehat{KBE}=\widehat{KCE}$

Từ đó dễ dàng chứng minh được: $MI^2=IK.IC=IE^2\Rightarrow IM=IE$

Vì $HF$ $||$ $ME$ nên $CK$ đi qua trung điểm của $HF$

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 30-05-2018 - 21:54

[HelpMeImDying]

 

Bài 94: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC; cát tuyến ADE sao cho BD< CD; AD< AE. Gọi H là giao điểm của OA và BC. Gọi I là trung điểm DE. Kéo dài IH cắt (O) tại K sao cho H nằm giữa I và K. Gọi S là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OKA. Chứng minh OS vuông góc IK.

Gọi $F$ là giao điểm thứ 2 của $IH$ với $(O)$.

Ta có: $HK.HF=HB.HC=HA.HO\Rightarrow$ Tứ giác $AFOK$ nội tiếp suy ra $KF$ là dây chung của đường tròn $(O)$ với đường tròn $(S)$

$\Rightarrow OS\perp IK$

Hình gửi kèm

• 

[Khoa Linh]

Cho tớ đóng góp 1 bài nhá:

Bài 89: Cho tam giác ABC, phân giác AD, trung tuyến AM. Đường vuông góc với AD tại D cắt AB, AM lần lượt tại X, Y. Đường vuông góc với AB tại X cắt AD tại Z. Chứng minh YZ vuông góc với BC.

Cách khác:

Ta có: $AD$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $I$

Kẻ $IK$ vuông góc với $AB$ suy ra tứ giác $IMBK$ nội tiếp nên $\widehat{IKM}=\widehat{IBM}=\frac{\widehat{BAC}}{2}=\widehat{KAI}\Rightarrow KM \perp AI\Rightarrow KM||XY\Rightarrow YZ||MI\Rightarrow$ đpcm

Hình gửi kèm

• 

[Minhcamgia]

Kéo dài $DY$ cắt $AC$ tại $I$.

Suy ra $ZI \perp AC$

Từ $Y$ kẻ đường thẳng vuông góc với $YZ$ cắt $AB$, $AC$ tại $P,Q$. 

Ta có hai tứ giác $ZYPX$ và $ZYIQ$ nội tiếp.

Kết với với $\widehat{ZXY}=\widehat{ZIY}$ thì ta có: $\widehat{ZPY}=\widehat{ZQY}$ 

Suy ra $YP=YQ$ mà $MB=MC$ từ đó ta có $PQ || BC$. Suy ra đcpcm

Xin trình bày một bổ đề quan trọng đã được Khoa linh sử dụng trong chứng minh.

Bổ đề: Cho tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $BC$, trên $AM$ lấy $K$, một đường thẳng qua $K$ cắt $AB,AC$ tại $E,F$ sao cho $KE = KF$. Khi đó $EF$ song song $BC$.

CM: Qua $K$ dựng đường thẳng song song $BC$ cắt $AB,AC$ tại $R,S$, giả sử $R,E$ phân biệt, $S,F$ phân biệt.

Khi đó dễ dàng chứng minh $KS = KR,KE=KF \rightarrow ESFR$ là hình bình hành nên $ES \parallel FR$ (mâu thuẫn)

Suy ra $R \equiv F,S \equiv E$ nên $BC \parallel EF$.

[Minhcamgia]

Bài 95. Cho đường tròn $(O)$ và dây $BC$ cố định không đi qua tâm , điểm $A$ di động trên cung lớn $BC$, $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $AB,AC$ tại $D,E$. Chứng minh rằng $ED$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $A$ di động.

[duylax2412]

Bài 79 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.AH cắt (O) tại M ( khác A). Gọi K,L trên cạnh AC, AB sao cho HK // DE và HL //DF .Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt KL tại T.Qua M kẻ đường thẳng vuống góc với KL cắt AT tại S.CMR : HS vuông góc với HT 

Gọi $G$ là giao điểm $KL$ với $AH$.Ta có:$\widehat{AHL}=\widehat{ADF}=\widehat{ABH} \Rightarrow \triangle AHL \sim \triangle ABH \Rightarrow AH^2=AL.AB$.Tương tự $AH^2=AK.AC$ nên $AL.AB=AK.AC$ hay tứ giác $LKCB$ nội tiếp. Từ đó $\widehat{ALG}=\widehat{ACB}=\widehat{AMB}$

Nên tứ giác $GLBM$ nội tiếp.

Từ đó $AG.AM=AL.AB=AH^2$

Mà $\triangle AGT \sim \triangle ASM \Rightarrow AG.AM=AS.AT$

Hai điều trên suy ra $AH^2=AS.AT \Rightarrow \widehat{SHT}=90^0$

[Khoa Linh]

Bài 95. Cho đường tròn $(O)$ và dây $BC$ cố định không đi qua tâm , điểm $A$ di động trên cung lớn $BC$, $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $AB,AC$ tại $D,E$. Chứng minh rằng $ED$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $A$ di động.

diendan(134).PNG

Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Kẻ $MH$, $BP$, $CQ$ vuông góc với $DE$

Khi $A$ di động thì $\widehat{BAC}$ không đổi hay $\widehat{PBD}=\widehat{QCE}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=\alpha$ không đổi 

Suy ra $BP+CQ=(BD+CE).cos\alpha=BC.cos\alpha$ không đổi 

Từ đó ta có: $MH=\frac{BP+CQ}{2}$ không đổi 

Suy ra $DE$ tiếp xúc với đường tròn $(M;MH)$ cố định

p/s: chào mừng bạn Minhcamgia trở lại với Topic 

Hình gửi kèm

• 

[Minhcamgia]

Bài 96. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ và $P$ là điểm nằm trên cung nhỏ $BC$, , trung trực $AB,AC$ cắt $AP$ tại $E,F$, $BE$ cắt $CF$ tại $Q$. Chứng minh rằng $AP = BQ + CQ$.

[Korkot]

Bài 96. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ và $P$ là điểm nằm trên cung nhỏ $BC$, , trung trực $AB,AC$ cắt $AP$ tại $E,F$, $BE$ cắt $CF$ tại $Q$. Chứng minh rằng $AP = BQ + CQ$.diendan(137).PNG

CQ cắt (O) tại D. TG ADPC nt có AF=CF nên dễ cm được tg ADPC là hình thang cân nên CD=AP

Có $\angle{QBD}=\angle{EBA}+\angle{ABD}=\angle{BAE}+\angle{PAC}=\angle{BAC}$ (do tg ADPC là hình thang cân nên AD=PC)

Mà $\angle{BAC}=\angle{CDB}$ (cùng chắn $\mathop {CB}^{\displaystyle \frown}$ của (O)) nên tam giác QDB cân tại Q suy ra QD=QB nên AP=CD=CQ+DQ=CQ+BQ

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 01-06-2018 - 17:47

[Korkot]

Bài 97: (Đề PTNK năm 2004-2005): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (C) và M thay đổi trên cung nhỏ BC, N đối xứng M qua qua trung điểm I của AB.

a) CM trực tâm K của tam giác NAB thuộc một đường tròn cố định

b) Giả sử NK cắt AB tại D, hạ KE vuông góc BC. H là trực tâm tam giác ABC. CM DE đi qua trung điểm J của HK.

Bài 98: Cho tam giác ABC đều và P nằm trong tam giác. Hạ $PA_{1},PB_{1},PC_{1}$ vuông góc BC,CA,AB.Tìm tập hợp các điểm P sao cho tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$ cân

Bài 99: (Đề PTNK năm 2005-2006) Cho tam giác ABC có góc ACB=45, $\angle{ACB}+\angle{BAC}=2\angle{ABC}$ Đường trung trực của AB cắt BC tại M.

a)  Tính $\angle{MAC}$

b) I là tâm đường tròn (AMC). CM tg ABCI nt

Bài 100: Cho tam giác ABC và đường thẳng d//BC khác phía của A đối với BC. M lưu động trên d sao cho tg ABMC  lồi. Đường thẳng qua A chia đôi diện tích tg ABMC cắt BM hoặc CM tại N. Tìm quỹ tích điểm N

                              P/S Chúc mừng topic đạt 100 bài và 200 bài post.

                                                                

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 01-06-2018 - 17:49