Chủ đề này có 1 trả lời

[AlanNguyen]

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O ; R). Kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn ( A, B là tiếp điểm). Qua A kẻ đường thẳng song song với MB cắt (O) tại C. Nối MC cắt (O) tại D. Tia AD cắt MB tại E.

a) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp

b) Chứng minh: EM = EB

c) Xác định vị trí điểm M để BD vuông góc với MA

[vkhoa]

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O ; R). Kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn ( A, B là tiếp điểm). Qua A kẻ đường thẳng song song với MB cắt (O) tại C. Nối MC cắt (O) tại D. Tia AD cắt MB tại E.

a) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp

b) Chứng minh: EM = EB

c) Xác định vị trí điểm M để BD vuông góc với MA

a)

$\widehat{MAO} +\widehat{MBO} =90^\circ +90^\circ =180^\circ$

$\Rightarrow MAOB$ nội tiếp

b)

$\triangle EDB\sim\triangle EBA$ (g, g)

$\Rightarrow\frac{EB}{ED} =\frac{EA}{EB}$

$\Leftrightarrow EB^2 =EA .ED$ (1)

$\widehat{EMD} =\widehat{DCA} =\widehat{EAM}$

$\Rightarrow\triangle EMD\sim\triangle EAM$ (g, g)

$\Rightarrow\frac{EM}{ED} =\frac{EA}{EM}$

$\Leftrightarrow EM^2 =EA .ED$ (2)

từ (1, 2)$\Rightarrow EM =EB$

c)

$MO$ cắt $AE$ tại $H$

$BD$ cắt $AM$ tại $G$

$\triangle GAD\sim\triangle GBA$ (g, g)

$\Rightarrow\frac{GA}{GD} =\frac{GB}{GA}$

$\Leftrightarrow GA^2 =GD .GB$ (3)

lấy $F$ đối xứng với $D$ qua $G$

(3)$\Leftrightarrow GA^2 =GF .GB$

$BD\perp AM\Rightarrow\widehat{FAB} =90^\circ$

$\Rightarrow\widehat{OHA} =\widehat{DAF} =2\widehat{DAG}$ (4)

$\widehat{OHA} =\widehat{DAG} +\widehat{OMA}$ (5)

từ (4,  5)$\Rightarrow\widehat{DAG} =\widehat{OMA} =\widehat{EMO}$

mà $\widehat{EMD} =\widehat{EAM}$

$\Rightarrow\widehat{EMO} =\widehat{EMD}$

$\Rightarrow H\equiv D$

$\widehat{OHA} =\widehat{DAF} =2\widehat{DAG} =\widehat{AOD} =\widehat{DAO} =60^\circ$

mà $\triangle AOM$ vuông tại $A$

$\Rightarrow D$ là trung điểm $OM$

thử điều kiện trên lại thấy $BD\perp AM$

vậy, $BD\perp AM$ khi $OM =2OD =2R$ (đpcm)

Hình gửi kèm

•