Chủ đề này có 3 trả lời

[Khoa Linh]

Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số dương x, y, z: 

$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^3+y^3+z^3}{3}}$

[thanhdatqv2003]

Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số dương x, y, z: 

$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^3+y^3+z^3}{3}}$

Theo BĐT Holder ta có

$3(\sum \frac{x^2}{y})^3(\sum \sqrt{x^3y^3})^2\geqslant (\sum \sqrt[6]{x^9})^6=(\sum \sqrt{x^3})^6$$\Rightarrow (\sum \frac{x^2}{y})^3\geqslant \frac{(\sum \sqrt{x^3})^6}{3(\sum\sqrt{x^3y^3})^2 }$

Do đó ta chỉ cần C/m  $\frac{(\sum \sqrt{x^3})^6}{3(\sum\sqrt{x^3y^3})^2 }\geqslant 9(\sum x^3)\Leftrightarrow (\sum \sqrt{x^3})^6\geqslant 27(\sum x^3)(\sum \sqrt{x^3y^3})^2$

Đặt $\sum x^3=a; \sum \sqrt{x^3y^3}=b$ Thì (1) $\Leftrightarrow (a+2b)^3\geqslant 27ab^2\Leftrightarrow (a+b+b)^3\geq 27ab^2$ (Luôn đúng theo AM-GM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdatqv2003: 12-05-2018 - 00:05

[hoangkimca2k2]

Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số dương x, y, z: 

$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^3+y^3+z^3}{3}}$

 

Theo $BDT Holder$ ta có:

$\left ( \sum \frac{x^{2}}{y} \right )\left ( \sum \frac{x^{2}}{y} \right )\left ( \sum x^{2}y^{2} \right )\geq \left ( \sum x^{2} \right )^{3}$

Lại có theo Cauchy $\left ( \sum x^{2} \right )^{6}=(x^{4}+y^{4}+z^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2})^{3}$$\geq 27(\sum x^{4})(\sum x^{2}y^{2})^{2}$.

Nên $(\sum x^{2})^{3}\geq 3\sqrt{3}\sqrt{x^{4}+y^{4}+z^{4}}(\sum x^{2}y^{2})$

$\Leftrightarrow \sum \frac{x^{2}}{y}\geq 3\sqrt[4]{\frac{x^{4}+y^{4}+z^{4}}{3}}$

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $3\left ( \sum x^{4} \right )^{3}\geq (\sum x^{3})^{4}$ đúng theo Holder

[tr2512]

Một kết quả mạnh hơn vẫn đúng:

$$\frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{z} + \frac{{{z^2}}}{x} \ge 3\sqrt[6]{{\frac{{{x^6} + {y^6} + {z^6}}}{3}}}$$